Exercice 7, § 14

Soit $E$ une extension d’un corps $K$, $\operatorname{Aut}_K(E)$ le groupe des $K$-automorphismes de $E$. a) Pour toute sous-extension $L$ de $E$, de type fini sur $K$, $\operatorname{Aut}_L(E)$ est un sous-groupe de $\operatorname{Aut}_K(E)$. Montrer que lorsque $L$ parcourt l’ensemble des sous-extensions de $E$ de type fini sur $K$, les groupes $\operatorname{Aut}_L(E)$ forment un système fondamental de voisinages de l’élément neutre de $\operatorname{Aut}_K(E)$ pour une topologie compatible avec la structure de groupe de $\operatorname{Aut}_K(E)$, et pour laquelle $\operatorname{Aut}_K(E)$ est un groupe séparé et totalement discontinu. b) Lorsqu’on munit $E$ de la topologie discrète, la topologie de $\operatorname{Aut}_K(E)$ est la moins fine pour laquelle l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $\operatorname{Aut}_K(E) \times E$ dans $E$ est continue. \* c) Le groupe $\operatorname{Aut}_\mathbf{Q}(\mathbf{R})$ est réduit à l’élément neutre (V, p. 146, exerc. 2 du § 9). d) Soit $K_0 \supset K$ la sous-extension de $E$ formée des éléments invariants par tous les $K$-automorphismes de $E$. Montrer que, pour que $E$ soit algébrique sur $K_0$, il faut et il suffit que $\operatorname{Aut}_K(E)$ soit compact. e) Supposons $K$ infini. Si $E = K(X)$, corps des fractions rationnelles en une indéterminée sur $K$, montrer que $\operatorname{Aut}_K(E)$ est un groupe discret infini (V, p. 142, exerc. 11). Si $K$ est de caractéristique 0, le sous-groupe $\Gamma$ de $\operatorname{Aut}_K(E)$ engendré par l’automorphisme $\sigma : X \mapsto X + 1$ est fermé dans $\operatorname{Aut}_K(E)$ et distinct de ce dernier, mais a le même corps des invariants.