Bài tập 8, § 14

Cho E là một mở rộng của một trường K. a) Cho x là một phần tử của $E - K$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một mở rộng thuần túy $L \subset E$ của K sao cho E là đại số trên L và $x \notin L$ (xét tập hợp các mở rộng con L của E là siêu việt thuần túy trên K và sao cho $x \notin L$). b) Cho $x \in E$ là một phần tử siêu việt trên K và p là một số nguyên $\geq 2$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một mở rộng siêu việt thuần túy $L \subset E$ của K sao cho E là đại số trên L, $x \notin L$ và $x^p \in L$ (cùng phương pháp). c) Cho F là một mở rộng con của E và cho $x \in E$ là một phần tử đại số trên F, còn $P \in F[X]$ là đa thức tối tiểu của nó. Hãy chứng minh rằng tồn tại một mở rộng thuần túy $L \subset E$ của K sao cho E là đại số trên L và P là bất khả quy trên trường $F(L)$.