Exercice 8, § 14

Soit $E$ une extension d’un corps $K$. a) Soit $x$ un élément de $E - K$. Montrer qu’il existe une extension pure $L \subset E$ de $K$ telle que $E$ soit algébrique sur $L$ et $x \notin L$ (considérer l’ensemble des sous-extensions $L$ de $E$, transcendantes pures sur $K$ et telles que $x \notin L$). b) Soient $x \in E$ un élément transcendant sur $K$ et $p$ un entier $\geqslant 2$. Montrer qu’il existe une extension transcendante pure $L \subset E$ de $K$ telle que $E$ soit algébrique sur $L$, $x \notin L$ et $x^p \in L$ (même méthode). c) Soit $F$ une sous-extension de $E$, et soient $x \in E$ un élément algébrique sur $F$, $P \in F[X]$ son polynôme minimal. Montrer qu’il existe une extension pure $L \subset E$ de $K$ telle que $E$ soit algébrique sur $L$ et que $P$ soit irréductible sur le corps $F(L)$.