Bài tập 9, § 14

Một mở rộng E của một trường K được gọi là một mở rộng Dedekind của K nếu với mọi trường trung gian F của E, F trùng với trường con các phần tử của E bất biến dưới nhóm $\mathrm{Aut}_F(E)$ gồm tất cả các F-tự đẳng cấu của E. a) Để một mở rộng đại số E của K là Dedekind trên K, điều kiện cần và đủ là E là một mở rộng Galois của K. b) Giả sử rằng K có đặc số $p > 0$. Hãy chỉ ra rằng một mở rộng Dedekind của K tất yếu là đại số trên K (do đó là Galois). (Dùng Bài tập 8, b.) c) Nếu E là một mở rộng Dedekind của K và L là một trường trung gian siêu việt thuần túy của E, khác K và sao cho E là một mở rộng đại số của L, hãy chỉ ra rằng E có bậc vô hạn trên L.