Exercice 9, § 14

On dit qu’une extension $E$ d’un corps $K$ est dedekindienne sur $K$ si, pour toute sous-extension

F de E, F est identique au sous-corps des éléments de E invariants par le groupe Aut_F(E) des F-automorphismes de E. a) Pour qu’une extension algébrique E de K soit dedekindienne sur K, il faut et il suffit que E soit une extension galoisienne de K. b) On suppose que K est de caractéristique $p > 0$. Montrer qu’une extension dedekindienne de K est nécessairement algébrique sur K (donc galoisienne). (Utiliser l’exerc. 8, b).) c) Si E est une extension dedekindienne de K, L une sous-extension transcendante pure de E, distincte de K et telle que E soit une extension algébrique de L, montrer que E est de degré infini sur L.