Bài tập 2, § 4

Cho K là một trường đóng đại số có đặc số 0. $F = K((X^{1/n!}))$ là trường các chuỗi lũy thừa hình thức theo $X^{1/n!}$, và $E = K((X))$, trong đó $X = (X^{1/n!})^{n!}$, là trường con của F gồm các chuỗi lũy thừa hình thức theo X. Với mọi chuỗi lũy thừa hình thức $f \in K((X))$, ta ký hiệu bởi $\omega(f)$ cấp của nó. a) Cho $P(Y) = a_n Y^n + a_{n-1} Y^{n-1} + \ldots + a_1$ là một đa thức của $E[Y]$ bậc n, sao cho $a_n \neq 0$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một dãy tăng ngặt $(i_k)_0, \ldots, r$, các số nguyên trong khoảng $[0, n]$, sao cho: 1" $i_0 = 0, i_r = n$; 2" $\omega(a_{i_k})$ là hữu hạn với $0 \leq k \leq r$; 3" với mọi chỉ số j sao cho $0 \leq j \leq n$, khác các $i_k$ và sao cho $\omega(a_j)$ là hữu hạn, điểm $(j, \omega(a_j)) \in \mathbf{R}^2$ nằm phía trên đường thẳng đi qua các điểm $(i_k, \omega(a_{i_k}))$, $(i_{k-1}, \omega(a_{i_{k-1}}))$ và nằm phía trên nó một cách ngặt nếu $j < i_{k-1}$ hoặc $j > i_k$ ($1 \leq k \leq r$). Hợp của các đoạn nối các điểm $(i_{k-1}, \omega(a_{i_{k-1}}))$ và $(i_k, \omega(a_{i_k}))$ với $1 \leq k \leq r$ được gọi là đa giác Newton của P, các đoạn nói trên được gọi là các cạnh của nó và các điểm $(i_k, \omega(a_{i_k}))$ là các đỉnh của nó. b) Đặt $\rho_k = i_k - i_{k-1}$, $\sigma_k = (\omega(a_{i_k}) - \omega(a_{i_{k-1}}))/\rho_k$; hãy chỉ ra rằng P có đúng $\rho_k$ nghiệm (tính với bội số đúng) thuộc trường $K((X^{1/(\rho_k!)})$ và có cấp bằng $\sigma_k$ (xác định bằng đệ quy các hệ số của một chuỗi lũy thừa hình thức thuộc kiểu này thỏa mãn phương trình $P(z) = 0$). c) Kết luận rằng hợp của các trường $K((X^{1/n}))$ với mọi số nguyên $n > 0$ là một bao đóng đại số của trường $E = K((X))$ ("định lý Puiseux"). d) Nếu $K'$ là một trường có đặc số 2 và $E' = K'((X))$, thì đa thức $Y^2 + XY + X$ của $E'[Y]$ không có nghiệm trong hợp của các trường $K'((X^{1/n!}))$.