Bài tập 11, § 2

Cho M là một môđun $\tau$-nguyên sơ và cho N là một môđun con của M mà mọi phần tử khác không của nó đều có chiều cao $\leq h$ trong M. a) Cho P là một môđun con thuần của M sao cho $P(\pi) \subset N(\pi)$ và $P(\tau) \neq N(\pi)$. Cho a là một phần tử của $N(\pi)$ không thuộc $P(\pi)$, và cho $x_0$ là một phần tử của $a + P(\pi)$ có chiều cao k trong M lớn nhất có thể; cho $x_0 = \pi^k y_0$. Chứng minh rằng tổng $P + Ay$, là trực tiếp, và là một môđun con thuần của M. b) Cho B là một tập con giả tự do của M sao cho, nếu P là môđun con thuần sinh bởi B, thì $P(\pi) \subset N(\pi)$. Chứng minh rằng tồn tại một tập con giả tự do $C \to B$ của M sao cho, nếu Q là môđun con thuần của M sinh bởi C, thì $Q(\pi) = N(\pi)$ (áp dụng Bổ đề Zorn, dùng a)).