Exercice 11, § 2

Soient M un module $\pi$-primaire, N un sous-module de M dont tous les éléments $\neq 0$ ont une hauteur $\leq h$ dans M. a) Soit P un sous-module pur de M tel que $P(\pi) \subset N(\pi)$ et $P(\pi) \neq N(\pi)$. Soit a un élément de $N(\pi)$ n’appartenant pas à $P(\pi)$, et soit $x_0$ un élément de $a + P(\pi)$ dont la hauteur k dans M soit la plus grande possible ; soit $x_0 = \pi^k y_0$. Montrer que la somme $P + Ay_0$ est directe et est un sous-module pur de M. b) Soit B une partie pseudolibre de M telle que, si P est le sous-module pur de M engendré par B, on ait $P(\pi) \subset N(\pi)$. Montrer qu’il existe une partie pseudolibre C $\supset B$ de M telle que, si Q est le sous-module pur de M engendré par C, on ait $Q(\pi) = N(\pi)$ (appliquer le th. de Zorn, en utilisant a)).