Bài tập 14, § 2

sao cho lực lượng của tập các số thứ tự < a không lớn hơn lực lượng của M. Định nghĩa các môđun con M^{(α)} của M với mọi a ∈ I bằng quy nạp siêu hạn như sau: lấy M^{(0)} = M; lấy M^{(α + 1)} = πM^{(α)}; và nếu a là một số thứ tự giới hạn thì lấy M^{(α)} là giao của tất cả các M^{(β)} với β < a.

a) Chứng minh rằng tồn tại một số thứ tự nhỏ nhất τ ∈ I sao cho M^{(τ + 1)} = M^{(τ)} (số thứ tự tận cùng của M). Chứng minh rằng M^{(τ)} có một môđun bù trong M, và là tổng trực tiếp của các môđun con đẳng cấu với U_π (Bài tập 3). Nói rằng M là rút gọn nếu M^{(τ)} = 0. b) Cho M là một τ-môđun rút gọn. Với mọi x ∈ M, chứng minh rằng tồn tại một số thứ tự lớn nhất γ(x) ≤ τ sao cho x ∈ M^{(γ(x))} (đặc biệt, γ(0) = τ). Tổng quát hóa định nghĩa trong Bài tập 8, ta nói rằng γ(x) là chiều cao của x trong M. Chứng minh rằng nếu γ(x) < γ(y), thì γ(x + y) = γ(x), và nếu γ(x) = γ(y), thì γ(x + y) ≥ γ(x). Ta nói rằng x là thực sự đối với một môđun con N của M nếu với mọi y ∈ N, chiều cao γ(x + y) không lớn hơn γ(x); chứng minh rằng khi đó γ(x + y) = inf(γ(x), γ(y)), với mọi y ∈ N. c) Cho a < τ là một số thứ tự, và cho M^{(α)} là môđun con của M^{(α)} gồm các x sao cho πx = πy với một y ∈ M^{(α + 1)} nào đó. Với những y ∈ M^{(α + 1)} có tính chất này, các phần tử dạng u = x − y lập thành một lớp mod M(π) ∩ M^{(α − 1)} trong M(τ) ∩ M^{(α)}; nếu φ là đồng cấu chính tắc từ M(π) ∩ M^{(α)} lên thương của môđun này theo M(π) ∩ M^{(α + 1)}, thì chứng minh rằng ánh xạ ψ gửi x vào φ(u) là một đồng cấu có hạt nhân M^{(α − 1)}, và do đó M^{(α)}/M^{(α + 1)} đẳng cấu với (M(π) ∩ M^{(α)})/(M(π) ∩ M^{(α + 1)}). d) Cho N là một môđun con của M, và cho x ∈ M^{(α)} là một phần tử có chiều cao α; chứng minh rằng x là thực sự đối với N khi và chỉ khi các phần tử tương ứng u = x − y của M(π) ∩ M^{(α)} (xem c)) là thực sự đối với N. Tồn tại một phần tử x như vậy khi và chỉ khi ảnh của N ∩ M^{(α)} qua đồng cấu ψ là phân biệt với (M(π) ∩ M^{(α)})/(M(π) ∩ M^{(α − 1)}).

† 14) Cho M là một τ-môđun nguyên sơ rút gọn. Theo ký hiệu của Bài tập 13, với mỗi số thứ tự a < τ, ta có thể xét (M(π) ∩ M^{(α)}/(M(π) ∩ M^{(α + 1)}) như một không gian vectơ trên trường F_π = A/Aπ; gọi c(α) là chiều của không gian vectơ này, và gọi c(α) là bội số của số thứ tự a trong môđun M (xem VII, p. 24). a) Chứng minh rằng nếu M và N là hai τ-môđun nguyên sơ, mỗi môđun là một tổng trực tiếp của các môđun con xyclic (điều này suy ra τ ≤ ω, số thứ tự vô hạn đầu tiên), thì M và N đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số thứ tự tận cùng τ và bội số của mọi số nguyên n < τ là như nhau trong M và N. b) Cho một ví dụ về hai τ-môđun nguyên sơ không có phần tử nào có chiều cao vô hạn, không đẳng cấu với nhau, nhưng trong đó mỗi số nguyên n có cùng bội số (xem Bài tập 10, f)). c) Cho M và N là hai τ-môđun nguyên sơ rút gọn, mỗi môđun có một hệ sinh vô hạn đếm được. Chứng minh rằng nếu M và N có cùng số thứ tự tận cùng τ, và nếu mỗi số thứ tự a < τ có cùng bội số trong M và N, thì M và N đẳng cấu

(« Định lý Ulm-Zippin »). (Cho hai môđun con S ⊂ M và T ⊂ N, một đẳng cấu h từ S lên T được gọi là chỉ số nếu, với mọi x ∈ S, chiều cao của x trong M bằng chiều cao của $h(x)$ trong N. Định nghĩa bằng quy nạp một đẳng cấu chỉ số từ M lên N, và bằng cách luân phiên vai trò của M và N, sao cho rút gọn bài toán về bài toán sau: cho hai môđun con sinh hữu hạn S ⊂ M và T ⊂ N, một đẳng cấu chỉ số h từ S lên T, và một phần tử $x \in M \cap C S$, mở rộng h thành một đẳng cấu chỉ số từ S + Ax lên một môđun con của N chứa T. Chứng minh rằng có thể rút gọn về trường hợp $\tau x \notin S$; dùng Bài tập 5, chọn một phần tử w, trong $(S + Ax) \cap C S$ có chiều cao $a$ lớn nhất có thể trong M, rồi chọn một phần tử $w_2$ trong $S \cap M^{(\alpha)}$ sao cho chiều cao của $\pi(w_1 + w_2)$ trong M là lớn nhất có thể; chứng minh rằng $w = w_1 + w_2$ là thực sự đối với S (Bài tập 13, b)). Đặt $z = h(\tau w) \in T$; chứng minh rằng, nếu tồn tại một phần tử t của N, có chiều cao $a$ trong N, thực sự đối với T, và sao cho $\pi t = z$, thì một mở rộng $\overline{h}$ của h có dạng mong muốn có thể thu được bằng cách đặt $\overline{h}(w) = t$. Còn phải chứng minh sự tồn tại của phần tử t. Nếu

chứng minh rằng tồn tại các phần tử $u$ trong $N^{(\alpha)} \cap C T$ sao cho $z = \pi u$, và t có thể được lấy là một phần tử bất kỳ như vậy. Ngược lại, nếu $\gamma(z) = \gamma(\pi w) > \alpha + 1$ hoặc nếu $\gamma(z) = \gamma(\pi w) = \alpha + 1 = \tau$, dùng Bài tập 13, d) để chứng minh sự tồn tại của phần tử t, lưu ý rằng (theo ký hiệu của Bài tập 13) ảnh qua $\psi$ của $S \cap \tilde{M}^{(\alpha)}$ trong $(M(\tau) \cap M^{(\alpha)})/(M(\tau) \cap M^{(\alpha + 1)})$ là hữu hạn chiều trên trường $F_{\sigma}$.

*d) Từ c) thu được một chứng minh mới của Bài tập 12, d) (cũng dùng Định lý 1 của VII, p. 14).