Exercice 14, § 2

Soit $M$ un module $\pi$-primaire réduit. Avec les notations de l’exerc. 13, pour tout ordinal $\alpha < \tau$, $(M(\pi) \cap M^{(\alpha)})/(M(\pi) \cap M^{(\alpha+1)})$ peut être considéré comme espace vectoriel sur le corps $F_\pi = \mathbf{A}/\mathbf{A}\pi$; on désigne par $c(\alpha)$ la dimension de cet espace vectoriel et l’on dit que $c(\alpha)$ est la multiplicité de l’ordinal $\alpha$ dans le module $M$ ($cf.$ VII, p. 24). a) Montrer que, si $M$ et $N$ sont deux modules $\pi$-primaires dont chacun est somme directe de sous-modules monogènes (ce qui entraîne que $\tau \leq \omega$, plus petit ordinal infini), pour que $M$ et $N$ soient isomorphes, il faut et il suffit que $M$ et $N$ aient même ordinal ultime $\tau$ et que la multiplicité de tout entier $n < \tau$ soit la même dans $M$ et dans $N$. b) Donner un exemple de deux modules $\pi$-primaires non isomorphes, sans élément de hauteur infinie, et pour lesquels tout entier $n$ a la même multiplicité dans chacun des deux $\pi$-modules ($cf.$ exerc. 10, f)). c) Soient $M$ et $N$ deux modules réduits $\pi$-primaires, admettant chacun un système infini dénombrable de générateurs. Montrer que, si $M$ et $N$ ont même ordinal ultime $\tau$, et si, pour tout ordinal $\alpha < \tau$, la multiplicité de $\alpha$ dans $M$ et dans $N$ est la même, $M$ et $N$ sont isomorphes (« théorème d’Ulm-Zippin »). (Étant donnés deux sous-modules $S \subset M$, $T \subset N$, on dit qu’un isomorphisme $h$ de $S$ sur $T$ est indiciel si, pour tout $x \in S$, la hauteur de $x$ dans $M$ est égale à la hauteur de $h(x)$ dans $N$. On définira un isomorphisme indiciel de $M$ sur $N$ en procédant par récurrence et en alternant les rôles joués par $M$ et $N$, de façon à se ramener au problème suivant : étant donnés deux sous-modules $S \subset M$, $T \subset N$, de type fini, un isomorphisme indiciel $h$ de $S$ sur $T$, et un élément $x \in M \cap \mathscr{C} S$, prolonger $h$ en un isomorphisme indiciel de $S + Ax$ sur un sous-module de $N$ contenant $T$. Montrer qu’on peut se ramener au cas où $\pi x \in S$; en utilisant l’exerc. 5, prendre dans $(S + Ax) \cap \mathscr{C} S$ un élément $w_1$ dont la hauteur $\alpha$ dans $M$ est la plus grande possible, puis prendre dans $S \cap M^{(\alpha)}$ un élément $w_2$ tel que la hauteur de $\pi(w_1 + w_2)$ dans $M$ soit la plus grande possible; montrer que $w = w_1 + w_2$ est propre par rapport à $S$ (exerc. 13, b)). Soit $z = h(\pi w) \in T$; montrer que, s’il existe un élément $t \in N$, de hauteur $\alpha$ dans $N$, propre par rapport à $T$ et tel que $\pi t = z$, alors on obtient un prolongement $\bar{h}$ de $h$ répondant à la question en posant $\bar{h}(w) = t$. Reste à montrer l’existence de l’élément $t$. Si

on montrera qu’il existe dans $N^{(\alpha)} \cap \mathscr{C} T$ des éléments $u$ tels que $z = \pi u$, et qu’on peut prendre pour $t$ n’importe lequel de ces éléments. Si au contraire $\gamma(z) = \gamma(\pi w) > \alpha + 1$ ou bien si $\gamma(z) = \gamma(\pi w) = \alpha + 1 = \tau$, utiliser l’exerc. 13, d) pour démontrer l’existence de l’élément $t$, en remarquant (avec les notations de l’exerc. 13) que l’image par $\psi$ de $S \cap \tilde{M}^{(\alpha)}$ dans $(M(\pi) \cap M^{(\alpha)})/(M(\pi) \cap M^{(\alpha+1)})$ est de dimension finie par rapport au corps $F_\pi$ d) Déduire de c) une nouvelle démonstration de l’exerc. 12, d) (on utilisera aussi le th. 1 de VII, p. 14). \*