Bài tập 3, § 2

Cho A là một miền iđêan chính. (a) Một A-môđun M là đơn ánh (II, p. 389, Ex. 11) khi và chỉ khi, với mọi x ∈ M và mọi a ≠ 0 trong A, tồn tại y ∈ M sao cho x = ay; khi đó A-môđun M được gọi là chia được. Nếu E là một A-môđun tùy ý, thì tổng của tất cả các môđun con chia được của E là môđun con chia được lớn nhất Δ(E) của E. Ta có Δ(F) ⊂ A(E) với mọi môđun con F của E. (b) Cho M là một A-môđun chia được, cho π là một phần tử bất khả quy của A và cho x,, là một phần tử của M mà linh hóa tử có dạng Aπ^n (n > 0 là một số nguyên). Định nghĩa một dãy (x_s) các phần tử của M một cách đệ quy bởi các điều kiện $x_s = \pi x_{s-1}$ với mỗi số nguyên s ≥ 0. Chứng minh rằng môđun con của M sinh bởi dãy (x_s) là đẳng cấu với thành phần π-nguyên sơ U_π của môđun U = K/A, trong đó K là trường phân thức của A. (c) Chứng minh rằng U_π là một môđun chia được, và rằng mọi môđun con của U_π khác U_π và {0} đều là xyclic và được sinh bởi lớp mod A của một lũy thừa nào đó của π; suy ra rằng U_π là không phân tích được (II, p. 393, Ex. 21). (d) Chứng minh rằng mọi A-môđun chia được không phân tích được đều đẳng cấu hoặc với K hoặc với một trong các môđun U_π (dùng (a) và (b)). (e) Chứng minh rằng mọi A-môđun chia được đều đẳng cấu với tổng trực tiếp của một họ các môđun con chia được không phân tích được (áp dụng Bổ đề Zorn cho các họ các môđun con chia được không phân tích được mà các tổng của chúng là trực tiếp).