Exercice 3, § 2

Soit A un anneau principal. a) Pour qu’un A-module M soit injectif (II, p. 184, exerc. 11), il faut et il suffit que pour tout $x \in M$ et tout $\alpha \neq 0$ dans A, il existe $y \in M$ tel que $x = \alpha y$ ; on dit alors encore que le A-module M est divisible. Si E est un A-module quelconque, la somme de tous les sous-modules divisibles de E est le plus grand sous-module divisible $\Delta(E)$ de E. Pour tout sous-module F de E, on a $\Delta(F) \subset \Delta(E)$. b) Soient M un A-module divisible, π un élément extrémal de A, $x_0$ un élément de M dont l’annulateur soit de la forme $A \pi^n$ ($n$ entier > 0). On définit par récurrence une suite $(x_s)$ d’éléments de M par les conditions $x_s = \pi x_{s+1}$ pour tout entier $s > 0$. Montrer que le sous-module de M engendré par la suite $(x_s)$ est isomorphe au composant π-primaire $U_\pi$ du module $U = K/A$, où K est le corps des fractions de A. c) Montrer que $U_\pi$ est un module divisible et que tout sous-module de $U_\pi$ distinct de $U_\pi$ et de 0 est monogène et engendré par la classe mod. A d’une puissance de π ; en déduire que $U_\pi$ est indécomposable (II, p. 187, exerc. 21). d) Montrer que tout A-module divisible et indécomposable est isomorphe, soit à K, soit à un des modules $U_\pi$ (utiliser a) et b)). e) Montrer que tout A-module divisible est somme directe d’une famille de sous-modules divisibles et indécomposables (appliquer le th. de Zorn aux familles de sous-modules divisibles et indécomposables de M, dont la somme est directe).