Bài tập 4, § 2

Một họ (x,) gồm các phần tử khác không của một môđun trên một miền iđêan chính A được gọi là giả tự do nếu mọi quan hệ có dạng $\sum \alpha_i x_i = \beta y$ ($y \in M,\ a_i \in A,\ \beta \in A$) kéo theo sự tồn tại của một họ các phần tử $\alpha'_i \in A$ sao cho $\alpha_i x_i = \beta \alpha'_i x_i$ với mỗi chỉ số $i$. Khi đó quan hệ $i \neq k$ kéo theo $x_i \neq x_k$; tập hợp các phần tử của một họ giả tự do được gọi là một tập con giả tự do của M. a) Cho $\pi$ là một phần tử bất khả quy của A. Chứng minh rằng, trong một A-môđun có linh hóa tử $A\tau^n \ (n \geq 1)$, mọi phần tử có linh hóa tử $A\tau^n$ đều là giả tự do (sử dụng đồng nhất thức Bézout). b) Cho (x,) là một họ giả tự do trong một A-môđun M, và cho N là môđun con của M sinh bởi họ này. Chứng minh rằng với mọi phần tử $\dot{x}$ của $M/N$ tồn tại một phần tử $x \in \dot{x}$ có linh hóa tử bằng linh hóa tử của $\dot{x}$ trong $M/N$. Nếu thêm rằng $\dot{x}$ là giả tự do trong $M/N$, hãy chứng minh rằng họ gồm các (x,) và x là giả tự do trong M. c) Suy ra từ a) và b) rằng nếu A-môđun M có linh hóa tử khác không, thì nó là một tổng trực tiếp của các môđun cyclic (rút gọn về trường hợp của một môđun $\tau$-nguyên sơ, và áp dụng Bổ đề Zorn cho các họ giả tự do gồm các phần tử của M) (xem VII, p. 19, Đl. 2).