Exercice 4, § 2

On dit qu’une famille $(x_i)$ d’éléments $\neq 0$ d’un module M sur un anneau principal A est pseudolibre si toute relation de la forme $\sum \alpha_i x_i = \beta y$ ($y \in M, \alpha_i \in A, \beta \in A$) entraîne l’existence d’éléments $\alpha'_i \in A$ tels que l’on ait $\alpha_i x_i = \beta \alpha'_i x_i$ pour tout indice i. La relation $i \neq k$ entraîne alors $x_i \neq x_k$; on dit que l’ensemble des éléments d’une famille pseudolibre est une partie pseudolibre de M. a) Soit $\pi$ un élément extrémal de A. Montrer que, dans un A-module d’annulateur $A\pi^n$ ($n \geq 1$), un élément d’annulateur $A\pi^n$ est pseudolibre (utiliser l’identité de Bezout). b) Soit $(x_i)$ une famille pseudolibre dans un A-module M, et soit N le sous-module de M engendré par cette famille. Montrer que, pour tout élément $\dot{x}$ de $M/N$, il existe un élément $x \in \dot{x}$ dont l’annulateur est égal à l’annulateur de $\dot{x}$ dans $M/N$. Si en outre $\dot{x}$ est pseudolibre dans $M/N$, montrer que la famille formée des $x_i$ et de $x$ est pseudolibre dans M. c) Déduire de a) et b) que si le A-module M a un annulateur non nul, il est somme directe de modules monogènes (se ramener à un module $\pi$-primaire, et appliquer le th. de Zorn aux familles pseudolibres d’éléments de M) (cf. VII, p. 19, th. 2).