Bài tập 7, § 2

Cho M là một môđun trên một miền iđêan chính A; một môđun con N của M được gọi là thuần nếu, với mọi $a \in A$, ta có $N \cap (\alpha M) = \alpha N$. a) Môđun con N của M là thuần khi và chỉ khi, với mọi $a \in A$ và mọi phần tử $1 \in M/N$ có linh hóa tử là $Aa$, tồn tại một phần tử $x \in \dot{x}$ có linh hóa tử là $Aa$. b) Chứng minh rằng môđun con xoắn của M là thuần. Một họ (x,) các phần tử của M là giả tự do (Bài tập 4) khi và chỉ khi tổng của các môđun con $Ax_i$ là trực tiếp và là một môđun con thuần của M. Chứng minh rằng nếu P và Q là các môđun con của M sao cho $P \cap Q$ và $P + Q$ là thuần thì P và Q là thuần. Nếu Q là một môđun con thuần của M và $P \supseteq Q$ là một môđun con của M, thì P là thuần trong M khi và chỉ khi $P/Q$ là thuần trong $M/Q$. c) Chứng minh rằng mọi môđun con N của M là nhân tử trực tiếp của M đều là thuần. Điều tương tự cũng đúng cho hợp của một họ lọc các nhân tử trực tiếp của M. Ngược lại, nếu N là một môđun con thuần của M, và $M/N$ là một tổng trực tiếp của các môđun con chu kỳ, chứng minh rằng N là một nhân tử trực tiếp của M (dùng a)). Cho các ví dụ về các nhân tử trực tiếp P và Q của M sao cho $P \cap Q$ (tương ứng $P + Q$) không là một môđun con thuần (đối với ví dụ thứ nhất, lấy $M = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}) \oplus (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$, và đối với ví dụ thứ hai, lấy $M = \mathbf{Z}^2$). d) Cho N là một môđun con thuần của M, có linh hóa tử $Aa$ khác không. Iff là đồng cấu tự nhiên từ M lên $M/\alpha M$, chứng minh rằng f hạn chế thành một đẳng cấu từ N lên $f(N)$, và rằng $f(N)$ là một môđun con thuần của $M/\alpha M$ (dùng đồng nhất thức Bezout). Suy ra (với sự trợ giúp của c) và Bài tập 4, c)) rằng $f(N)$ là một nhân tử trực tiếp trong $M/\alpha M$, và rằng N là một nhân tử trực tiếp trong M. Đặc biệt, nếu môđun con xoắn của một môđun $M$ có linh hóa tử khác không (điều xảy ra khi nó sinh hữu hạn), thì nó là một nhân tử trực tiếp trong M (xem VII, p. 20, Hệ quả 1 của Định lý 2).

e) Cho $p$ là một số nguyên tố; cho $N$ là tổng trực tiếp của các môđun $\mathbf{Z}$-chu kỳ $\mathbf{Z}/(p^n)$ ($n \geq 1$), và cho $e_n$ là phần tử của N có tất cả các tọa độ đều bằng không ngoại trừ tọa độ thứ $n$, bằng lớp của 1 mod $p^n$. Cho $M$ là môđun con của môđun $\mathbf{Z}$-môđun $N \times \mathbf{Q}$ sinh bởi các phần tử $(e_n, p^{-n})$. Chứng minh rằng môđun con xoắn $P$ của $M$ không là một nhân tử trực tiếp trong $M$ (chú ý rằng mọi phần tử của $M/P$ đều chia được cho $p^n$ với mọi $n$, và rằng không có phần tử nào của $M$ có tính chất này ngoại trừ các bội của $(0, 1)$).