Exercice 7, § 2

Soit M un module sur un anneau principal A ; on dit qu’un sous-module N de M est pur si, pour tout $\alpha \in A$, on a $N \cap (\alpha M) = \alpha N$. a) Pour que N soit un sous-module pur de M, il faut et il suffit que, pour tout $\alpha \in A$, et tout élément $\dot{x} \in M/N$ dont l’annulateur est $A\alpha$, il existe un élément $x \in \dot{x}$ dont l’annulateur est $A\alpha$. b) Montrer que le sous-module de torsion de M est pur. Pour qu’une famille $(x_i)$ d’éléments de M soit pseudolibre (exerc. 4), il faut et il suffit que la somme des sous-modules $Ax_i$ soit directe et soit un sous-module pur de M. Montrer que, si P et Q sont des sous-modules de M tels que $P \cap Q$ et $P + Q$ soient purs, P et Q sont purs. Si Q est un sous-module pur de M, et $P \supset Q$ un sous-module de M, pour que P soit pur dans M, il faut et il suffit que $P/Q$ soit pur dans $M/Q$. c) Montrer que tout sous-module N de M qui est facteur direct dans M est pur. Il en est de même de la réunion d’une famille filtrante croissante de facteurs directs de M. Inversement, si N est un sous-module pur de M, et si $M/N$ est somme directe de sous-modules monogènes, montrer que N est facteur direct dans M (utiliser a)). Donner des exemples de sous-modules P, Q facteurs directs de M tels que $P \cap Q$ (resp. $P + Q$) ne soit pas un sous-module pur (pour le premier exemple, on pourra prendre $M = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}) \oplus (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$, et pour le second, $M = \mathbf{Z}^2$). d) Soit N un sous-module pur de M, dont l’annulateur $A\alpha$ est $\neq (0)$. Si $f$ est l’homomorphisme canonique de M sur $M/\alpha M$, montrer que la restriction de $f$ à N est un isomorphisme de N sur $f(N)$ et que $f(N)$ est un sous-module pur de $M/\alpha M$ (utiliser l’identité de Bezout). En déduire (à l’aide de c) et de l’exerc. 4, c)) que $f(N)$ est facteur direct dans $M/\alpha M$, et que N est facteur direct dans M. En particulier, si le sous-module de torsion d’un module M admet un annulateur non nul (ce qui est le cas lorsqu’il est de type fini), il est facteur direct dans M (cf. VII, p. 19, cor. 1 du th. 2).

e) Soit $p$ un entier premier ; on désigne par $N$ le $\mathbf{Z}$-module somme directe des modules monogènes $\mathbf{Z}/(p^n)$ ($n \geqslant 1$), par $e_n$ l’élément de $N$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf celle d’indice $n$, égale à la classe de 1 mod. $p^n$. Soit $M$ le sous-module du $\mathbf{Z}$-module $N \times \mathbf{Q}$, engendré par les éléments $(e_n, p^{-n})$. Montrer que le sous-module de torsion $P$ de $M$ n’est pas facteur direct dans $M$ (remarquer que, dans $M/P$, tout élément est divisible par $p^n$ quel que soit $n$, et qu’aucun élément de $M$ non multiple de $(0,1)$ ne possède cette propriété).