Bài tập 8, § 2

Cho $A$ là một miền iđêan chính, cho $\pi$ là một phần tử bất khả quy của $A$ và cho $M$ là một môđun $\pi$-nguyên sơ. Khi đó một phần tử $x$ của $M$ được gọi là có chiều cao $n$ nếu $x \in \pi^n M$ và $x \notin \pi^{n+1} M$. Nếu $x \in \pi^n M$ với mọi $n \geq 1$ thì $x$ được gọi là có chiều cao vô hạn.

u) Chứng minh rằng $M$ là chia được khi và chỉ khi mọi phần tử của nó đều có chiều cao vô hạn (Bài tập 3).

b) Cho $x$ là một phần tử của $M$ có chiều cao $n$, sao cho $\pi x = 0$; chứng minh rằng nếu $x = \pi^n y$ thì môđun con chu kỳ $Ay$ của $M$ là một nhân tử trực tiếp của $M$ (chú ý rằng $Ay$ là một môđun con thuần, và áp dụng Bài tập 7, d)).

c) Chứng minh rằng một môđun $n$-nguyên sơ không chia được $M$ luôn chứa ít nhất một nhân tử trực tiếp chu kỳ khác không (nếu $x \in M$ có chiều cao hữu hạn, và tồn tại các số nguyên $m$ sao cho $\pi^m x \neq 0$ có chiều cao vô hạn, thì đặt là số nguyên nhỏ nhất như vậy; viết $\pi^s x = \pi y$, trong đó $y$ có chiều cao lớn hơn ngặt so với $\pi^{s-1} x$, và áp dụng b) cho $y - \pi^{s-1} x$). Suy ra rằng mọi môđun $n$-nguyên sơ không phân tích được đều là chu kỳ hoặc đẳng cấu với một môđun $U_\tau$ (Bài tập 3).

d) Chứng minh rằng nếu mọi môđun con thuần của môđun $n$-nguyên sơ $M$ đều là một nhân tử trực tiếp trong $M$, thì $M$ là một tổng trực tiếp của một môđun chia được $P$ và một môđun $\pi$-nguyên sơ $Q$ với linh hóa tử khác không. (Rút gọn về trường hợp $M$ không chứa môđun con chia được khác không, và lập luận bằng phản chứng. Dùng b) để chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn $(x_i)$ các phần tử có chiều cao 1 trong $M$ sao cho: 1) linh hóa tử của $x_k$ là $A \pi^{n_k}$, trong đó dãy $(n_i)$ các số nguyên là tăng ngặt; và 2) tổng của các $Ax_k$ là trực tiếp, và tổng của bất kỳ số hữu hạn nào trong các môđun con này là một nhân tử trực tiếp trong $M$. Sau đó chứng minh rằng môđun con $N$ của $M$ sinh bởi các phần tử $x_i - \pi^{n_k-1} n_k x_{k-1}$, là thuần, nhưng không phải là một nhân tử trực tiếp của $M$, bằng cách lập luận như trong Bài tập 7, e)).