Exercice 8, § 2

Soient $A$ un anneau principal, $\pi$ un élément extrémal de $A$, et $M$ un module $\pi$-primaire. On dit qu’un élément $x \in M$ est de hauteur $n$ si $x \in \pi^n M$ et $x \notin \pi^{n+1} M$. On dit que $x$ est de hauteur infinie si $x \in \pi^n M$ pour tout entier $n \geqslant 1$. a) Montrer que, pour que $M$ soit divisible, il faut et il suffit que tous ses éléments soient de hauteur infinie (exerc. 3). b) Soit $x$ un élément de $M$ de hauteur $n$, tel que $\pi x = 0$; montrer que si $x = \pi^n y$, le sous-module monogène $A y$ de $M$ est facteur direct dans $M$ (remarquer que $A y$ est un sous-module pur, et appliquer l’exerc. 7, $d$). c) Montrer qu’un module $\pi$-primaire non divisible $M$ contient toujours au moins un sous-module monogène $\neq 0$ facteur direct dans $M$ (si $x \in M$ est de hauteur finie, et s’il existe des entiers $m$ tels que $\pi^m x \neq 0$ soit de hauteur infinie, soit $s$ le plus petit de ces entiers ; écrire $\pi^s x = \pi y$, où $y$ est de hauteur strictement supérieure à $\pi^{s-1} x$, et appliquer $b$) à $y - \pi^{s-1} x$. En déduire qu’un module $\pi$-primaire indécomposable est, soit monogène, soit isomorphe au module $U_\pi$ (exerc. 3). d) Montrer que si tout sous-module pur du module $\pi$-primaire $M$ est facteur direct dans $M$, alors $M$ est somme directe d’un module divisible $P$ et d’un module $\pi$-primaire $Q$ dont l’annulateur est $\neq 0$. (Se ramener au cas où $M$ ne contient aucun sous-module divisible $\neq 0$, et raisonner par l’absurde. Montrer en utilisant $b$) qu’il existerait une suite infinie $(x_k)$ d’éléments de hauteur 1 dans $M$ tels que : 1° l’annulateur de $x_k$ soit $A \pi^{n_k}$, où la suite d’entiers $(n_k)$ est strictement croissante ; 2° la somme des $A x_k$ est directe, et toute somme d’un nombre fini de ces sous-modules est facteur direct dans $M$. Montrer alors que le sous-module $N$ de $M$ engendré par les éléments $x_k - \pi^{n_{k+1}} - n_k x_{k+1}$ est pur, mais n’est pas facteur direct de $M$, en raisonnant comme dans l’exerc. 7, $e$.)