Bài tập 1, § 4

Cho U = (\alpha_{ij}) là một ma trận có m hàng và n cột trên miền iđêan chính A. a) Trước hết giả sử rằng các a_i nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Chứng minh rằng tồn tại hai ma trận vuông khả nghịch P và Q với các phần tử thuộc A, sao cho một trong các phần tử của ma trận PUQ bằng 1. (Đối với mỗi \alpha_{ij} \neq 0, đặt S(\alpha_{ij}) là tổng các số mũ trong một phân tích của a_i thành các phần tử bất khả quy, và đặt s(U) là số nhỏ nhất trong các số s(\alpha_{ij}); nếu s(U) > 0, chứng minh rằng tồn tại hai ma trận vuông khả nghịch R và S sao cho

sử dụng đồng nhất thức Bezout, và giới hạn các ma trận R và S được xét, sau khi hoán vị các hàng và các cột nếu cần, vào các ma trận có dạng $\begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$, trong đó T là một ma trận 2 x 2 và I là một ma trận đơn vị, hoặc vào các tích của những ma trận như vậy và các ma trận hoán vị.) b) Nếu \delta_1 là một ước chung lớn nhất của các phần tử của U, chứng minh rằng tồn tại hai ma trận khả nghịch P_1, Q_1 sao cho

trong đó tất cả các phần tử của U_1 đều chia hết cho \delta_1 (sử dụng a)). c) Với A = \mathbf{Z}, sử dụng b) để thu được một phương pháp tính các nhân tử bất biến của một ma trận cụ thể với các phần tử thuộc \mathbf{Z}. Áp dụng phương pháp này cho ma trận

EXERCISES