Exercice 1, § 4

Soit $U = (\alpha_{ij})$ une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes sur un anneau principal $A$. a) On suppose d’abord que les $\alpha_{ij}$ sont étrangers dans leur ensemble. Montrer qu’il existe deux matrices carrées inversibles $P$ et $Q$ à éléments dans $A$, telles que l’un des éléments de la matrice $PUQ$ soit égal à 1. (Pour chaque $\alpha_{ij} \neq 0$, soit $s(\alpha_{ij})$ la somme des exposants dans une décomposition de $\alpha_{ij}$ en éléments extrémaux, et soit $s(U)$ le plus petit des nombres $s(\alpha_{ij})$; si $s(U) > 0$, montrer qu’il existe deux matrices carrées inversibles $R, S$ telles que

on utilisera l’identité de Bezout, et on se bornera, au besoin par des permutations de lignes ou de colonnes, à n’utiliser que des matrices $R$ ou $S$ qui sont de la forme $\begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$, où $T$ est d’ordre 2 et $I$ une matrice unité, ou qui sont des produits de telles matrices et de matrices de permutations.) b) Si $\delta_1$ est un pgcd des éléments de $U$, montrer qu’il existe deux matrices inversibles $P_1, Q_1$, telles que l’on ait où tous les éléments de $U_1$ sont divisibles par $\delta_1$ (utiliser $a$). c) Lorsque $A = \mathbf{Z}$, déduire de $b$ une méthode de détermination explicite des facteurs invariants d’une matrice explicitée à éléments dans $\mathbf{Z}$. Appliquer cette méthode à la matrice