Bài tập 10, § 4

Cho A là một miền iđêan chính và M là một môđun con có hạng $n$ trong $E = A^{n}$; gọi $A\alpha_{i}$ ($1 \leq i \leq n$) là các nhân tử bất biến của M đối với E, được sắp xếp theo thứ tự giảm. Gọi N là một môđun con của M thừa nhận một môđun bù trong M (nghĩa là sao cho $N = M \cap KN$, trong đó K là trường các phân thức của A). a) Gọi P là một môđun bù của N trong M. Chứng minh rằng môđun con $(P + (E \cap KN))/M$ của $E/M$ là đẳng cấu với $(E \cap KN)/N$. Suy ra rằng, nếu N có hạng p và $A\beta_{k}$ ($1 \leq k \leq p$) là các nhân tử bất biến của N đối với E, thì $\beta_{k}$ chia hết cho $\alpha_{k+n-p}$ với $1 \leq k \leq p$ (dùng Bài tập 8, d)). b) Hãy cho một ví dụ để chỉ ra rằng môđun $E/M$ không nhất thiết đẳng cấu với tích của các môđun $(E \cap KN)/N$ và $E/(P + (E \cap KN))$ (lấy $E/M$ là không phân tích được).