Exercice 10, § 4

Soient A un anneau principal et M un sous-module de rang n de $E = A^n$; soient $A\alpha_i$ (1 \leq i \leq n) les facteurs invariants de M par rapport à E, rangés par ordre décroissant. Soit N un sous-module de M, admettant un supplémentaire dans M (c’est-à-dire tel que $N = M \cap KN$, K étant le corps des fractions de A). a) Soit P un sous-module de M supplémentaire de N. Montrer que le sous-module $(P + (E \cap KN))/M$ de $E/M$ est isomorphe à $(E \cap KN)/N$. En déduire que, si N est de rang $p$, et si $A\beta_k$ (1 \leq k \leq p) sont les facteurs invariants de N par rapport à E, pour $1 \leq k \leq p$, $\beta_k$ divise $\alpha_{k+n-p}$ (utiliser l’exerc. 8, d)). b) Donner un exemple montrant que le module $E/M$ n’est pas nécessairement isomorphe au produit des modules $(E \cap KN)/N$ et $E/(P + (E \cap KN))$ (prendre un cas où $E/M$ est indécomposable).