Bài tập 11, § 4

Cho A là một miền iđêan chính, cho H là một môđun con của $E = A^{n}$, và cho $H^{0}$ là môđun con của môđun đối ngẫu $E^{*}$ của E vuông góc với H (Bài tập 7). Cho M là một môđun con hạng p của E và cho $Aa_{i}$ ($1 \leq i \leq p$) là các nhân tử bất biến của M đối với E, được sắp xếp theo thứ tự giảm. Cho $(\nu_{H})$ là ước chung lớn nhất của các iđêan $f(M)$ của A khi f chạy qua $H^{0}$; hãy chứng minh rằng, với $1 \leq k \leq p$, phần tử $a_{k}$ là một ước chung lớn nhất của các $\nu_{H}$ đối với mọi môđun con H của E có hạng $k - 1$ và có môđun bù trong E (trước hết xét trường hợp $k = 1$; áp dụng kết quả cho môđun con $(M + H)/H$ của $E/H$, và dùng Bài tập 8, d), áp dụng cho môđun thương $E/(M + H)$ của $E/M$.