Exercice 11, § 4

Soient A un anneau principal, H un sous-module de $E = A^n$, et $H^0$ le sous-module du dual $E^*$ de E, orthogonal à H (exerc. 7). Soient M un sous-module de rang $p$ de E, $A\alpha_i$ (1 \leq i \leq p) les facteurs invariants de M par rapport à E, rangés par ordre décroissant. Lorsque $f$ parcourt $H^0$, soit $(\nu_H)$ le pgcd des idéaux $f(M)$ de A ; montrer que, pour $1 \leq k \leq p$, $\alpha_k$ est un ppcm des $\nu_H$, lorsque H parcourt l’ensemble des sous-modules de E, de rang $k - 1$, et admettant un supplémentaire dans E (considérer d’abord le cas où $k = 1$; appliquer le résultat au sous-module $(M + H)/H$ de $E/H$, et utiliser l’exerc. 8, d), appliqué au module quotient $E/(M + H)$ de $E/M$).