Bài tập 13, § 4

Cho A là một miền iđêan chính với trường các phân thức K. a) Chứng minh rằng, với mọi A-môđun M, đồng cấu chính tắc $c_{M}: M \to D(D(M))$ là đơn ánh (xem II, p. 389, Bài tập 13). b) Nếu $u: M \to N$ là một đồng cấu của các A-môđun, định nghĩa các đẳng cấu tự nhiên từ $D(\operatorname{Im}(u))$ lên $\operatorname{Im}(D(u))$, từ $D(\operatorname{Ker}(u))$ lên $\operatorname{Coker}(D(u))$, và từ $D(\operatorname{Coker}(u))$ lên $\operatorname{Ker}(D(u))$. c) Cho M là một A-môđun và N là một môđun con của M. Theo ký hiệu của Mục 9, chứng minh rằng $N^{00} = N$ (sử dụng a) và b)). Môđun $N^{0}$ có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi $M/N$ có độ dài hữu hạn. Ngược lại, với mọi môđun con $N'$ của $D(M)$ có độ dài hữu hạn, môđun ${N'}^{0}$ là một môđun con của M sao cho $M/N^{0}$ có độ dài hữu hạn, và $N' = {N'}^{00}$. d) Nếu M là một A-môđun xoắn, và $M_{\pi}$ ký hiệu thành phần $\tau$-nguyên sơ của M, chứng minh rằng $D(M)$ đẳng cấu với $\prod_{\pi \in P} \operatorname{Hom}(M_{\pi}, U_{\pi})$, trong đó P là một hệ các đại diện của các phần tử bất khả quy của A và $U_{\pi}$ là thành phần $\tau$-nguyên sơ của $K/A$ đối với mỗi $\tau \in P$ (VII, p. 54 Bài tập 3). e) Suy ra từ d) rằng $D(K/A)$ đẳng cấu với tích $\prod_{\pi \in P} \hat{A}_{(\pi)}$, trong đó $\hat{A}_{(\pi)}$ ký hiệu phép hoàn thành của vành $A_{(\pi)}$ được định nghĩa trong VII, p. 54, Bài tập 2, đối với tôpô được định nghĩa bằng cách lấy các iđêan $\pi''A_{(\pi)}$ làm một cơ sở các lân cận mở của 0 (phép hoàn thành này cũng có thể được đồng nhất với giới hạn ngược $\varprojlim (A/A\pi'')$).

f) Nếu M là một A-môđun có độ dài hữu hạn, và a là linh hóa tử của nó, chứng minh rằng D(M) đẳng cấu với đối ngẫu của (A/a)-môđun trung thành liên kết với M.

g) Cho M là một A-môđun có độ dài hữu hạn. Chứng minh rằng nếu N là một môđun con của M, thì tồn tại một môđun con P của M sao cho M/N đẳng cấu với P và M/P đẳng cấu với N (sử dụng VII, p. 26, Mệnh đề 10 và VII, p. 27, Mệnh đề 12); hai môđun con của M có các tính chất này được gọi là đối ngẫu. Chứng minh rằng, với mọi a ∈ A, môđun con M(α) của M gồm tất cả x ∈ M sao cho αx = 0, và môđun con αM, là đối ngẫu.