Exercice 13, § 4

Soient A un anneau principal, K son corps des fractions. a) Montrer que pour tout A-module M, l’homomorphisme canonique $c_M : M \to D(D(M))$ est injectif (cf. II, p. 185, exerc. 13). b) Si $u : M \to N$ est un homomorphisme de A-modules, définir des isomorphismes canoniques de $D(\operatorname{Im}(u))$ sur $\operatorname{Im}(D(u))$, de $D(\operatorname{Ker}(u))$ sur $\operatorname{Coker}(D(u))$, de $D(\operatorname{Coker}(u))$ sur $\operatorname{Ker}(D(u))$. c) Soient M un A-module, N un sous-module de M. Avec les notations du no 9, montrer que l’on a $N^{00} = N$ (utiliser a) et b)). Pour que $N^0$ soit de longueur finie, il faut et il suffit que $M/N$ soit de longueur finie. Inversement, pour tout sous-module $N'$ de $D(M)$, de longueur finie, ${N'}^0$ est un sous-module de M tel que $M/{N'}^0$ soit de longueur finie, et l’on a $N' = {N'}^{00}$. d) Si M est un A-module de torsion, et si $M_\pi$ désigne le composant $\pi$-primaire de M, montrer que $D(M)$ est isomorphe à $\prod_{\pi \in P} \mathrm{Hom}_A(M_\pi, U_\pi)$, $P$ étant un système représentatif d’éléments extrémaux de $A$, et, pour tout $\pi \in P$, $U_\pi$ étant le composant $\pi$-primaire de $K/A$ (VII, p. 53; exerc. 3). e) Déduire de d) que $D(K/A)$ est isomorphe au produit $\prod_{\pi \in P} (\hat{A}_{(\pi)})$, $\hat{A}_{(\pi)}$ désignant le complété de l’anneau $A_{(\pi)}$ défini en VII, p. 53, exerc. 2, pour la topologie dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé des idéaux $\pi^n A_{(\pi)}$ (complété qu’on peut aussi identifier à la limite projective $\varprojlim (A/A\pi^n)$). f) Si $M$ est un $A$-module de longueur finie, et si $a$ est son annulateur, montrer que $D(M)$ est isomorphe au dual du $(A/a)$-module fidèle associé à $M$. g) Soit $M$ un $A$-module de longueur finie. Montrer que si $N$ est un sous-module de $M$, il existe un sous-module $P$ de $M$ tel que $M/N$ soit isomorphe à $P$ et que $M/P$ soit isomorphe à $N$ (utiliser VII, p. 25, prop. 10 et VII, p. 27, prop. 12); deux sous-modules de $M$ ayant ces propriétés sont dits réciproques. Montrer que, pour tout $\alpha \in A$, le sous-module $M(\alpha)$ de $M$ formé des $x$ tels $\alpha x = 0$, et le sous-module $\alpha M$, sont réciproques.