Bài tập 14, § 4

Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn trên một miền iđêan chính A với trường các phân thức K. a) Chứng minh rằng nếu N là một môđun con của M thì hạng của M không vượt quá tổng các hạng của N và M/N (đặt M = E/H, trong đó E là một môđun tự do có hạng n và H là một môđun con có hạng n của E; nếu N = L/H, trong đó H ⊂ L ⊂ E, nhận xét rằng, nếu hạng của N là p, thì tồn tại một môđun con R của H, có hạng n − p, nhận một môđun bù S trong L sao cho S ∩ H là một môđun bù của R trong H; hơn nữa, (E ∩ KR)/R có hạng ≥ n − p và đẳng cấu với một môđun thương của E/L (Bài tập 10, a)); hoàn thành chứng minh bằng cách sử dụng Bài tập 8, b)). b) Cho N là một môđun con của M có hạng p, và cho q là hạng của M/N. Cho Aa, (1 ≤ i ≤ n) là các thừa số bất biến của M và Aβ_k (1 ≤ k ≤ p) là các thừa số bất biến của N, được sắp xếp theo thứ tự giảm. Chứng minh rằng β_k là một bội của a, (p + q − n) (sử dụng a) và Bài tập 8, c), nhận xét rằng (λM)/(λN) là đẳng cấu với một môđun thương của M/N).