Exercice 14, § 4

Soit $M$ un module de longueur finie sur un anneau principal $A$ de corps des fractions $K$. a) Montrer que, si $N$ est un sous-module de $M$, le rang $n$ de $M$ est au plus égal à la somme des rangs de $N$ et de $M/N$ (soit $M = E/H$, où $E$ est un module libre de rang $n$ et $H$ un sous-module de $E$, de rang $n$; si $N = L/H$, où $H \subset L \subset E$, remarquer que, si le rang de $N$ est $p$, il existe un sous-module $R$ de $H$, de rang $n - p$, admettant un supplémentaire $S$ dans $L$ tel que $S \cap H$ soit supplémentaire de $R$ dans $H$; en outre, $(E \cap KR)/R$ est de rang $\geq n - p$ et est isomorphe à un module quotient de $E/L$ (exerc. 10, a)); conclure en utilisant l’exerc. 8, b)). b) Soit $N$ un sous-module de $M$, de rang $p$, et soit $q$ le rang de $M/N$. Soient $A\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) les facteurs invariants de $M$ et $A\beta_k$ ($1 \leq k \leq p$) ceux de $N$, rangés par ordre décroissant. Montrer que, pour $p + q - n + 1 \leq k \leq p$, $\beta_k$ est un multiple de $\alpha_{k-(p+q-n)}$ (utiliser $a$) et l’exerc. 8, c), en remarquant que $(\lambda M)/(\lambda N)$ est isomorphe à un module quotient de $M/N$.