Bài tập 15, § 4

(a) Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn và hạng n trên một miền iđêan chính A, và cho Aα_i (1 ≤ i ≤ n) là các nhân tử bất biến của nó theo thứ tự giảm. Cho (β_i) (1 ≤ i ≤ n) là một dãy các phần tử của A sao cho β_i chia hết a, với 1 ≤ i ≤ n và a, chia hết β_{i−1}, với 1 ≤ i ≤ n − 1. Cho (M_i)_{≤ i ≤ n} là một dãy các môđun con của M sao cho M là tổng trực tiếp của các M_i và mỗi M_i đẳng cấu với A/Aα_i; cho a_i là một phần tử sinh của M_i với 1 ≤ i ≤ n. Đặt

Chứng minh rằng môđun thương của M bởi môđun con chu kỳ Ab đẳng cấu với tổng trực tiếp của n môđun A/Aβ_i (1 ≤ i ≤ n). (b) Cho M và N là hai môđun có độ dài hữu hạn trên A; cho Aα_i (1 ≤ i ≤ n) và Aβ_k (1 ≤ k ≤ p) lần lượt là các nhân tố bất biến của M và N, được sắp xếp theo thứ tự giảm; giả sử rằng p ≤ n, rằng β_k chia hết α_{k+n−p} với 1 ≤ k ≤ p, và rằng a_i chia hết β_{k+(p+q−n)} với 1 ≤ k ≤ n − q, trong đó q là một số nguyên sao cho

Chứng minh rằng tồn tại một môđun con P của M, đẳng cấu với N, sao cho M/P có hạng ≤ q (phân tích mỗi môđun M và N thành một tổng trực tiếp của q môđun, theo cách làm giảm bài toán về trường hợp q = 1; sau đó dùng a) và Ex. 13, g)). (c) Để một môđun N trên A đẳng cấu với một nhân tử trực tiếp của một môđun M có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là mọi ước sơ cấp của N đều là một ước sơ cấp của M, và bội số của nó trong N không lớn hơn bội số của nó trong M. Từ đó hãy thu được một ví dụ về một môđun M có độ dài hữu hạn và một môđun con N của M sao cho hạng của M bằng tổng các hạng của N và M/N, và sao cho N không thừa nhận một phần bù trong M (dùng a)).