Exercice 15, § 4

a) Soit $M$ un module de longueur finie, et de rang $n$ sur un anneau principal $A$, et soient $A\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) ses facteurs invariants rangés par ordre décroissant. Soit $(\beta_i)$ ($1 \leq i \leq n$) une suite d’éléments de $A$ telle que, pour $1 \leq i \leq n$, $\beta_i$ divise $\alpha_i$ et que, pour $1 \leq i \leq n - 1$, $\alpha_i$ divise $\beta_{i+1}$. Soit $(M_i)_{1 < i < n}$ une suite de sous-modules de $M$ telle que $M$ soit somme directe des $M_i$ et que $M_i$ soit isomorphe à $A/A\alpha_i$ pour $1 \leq i \leq n$; soit $a_i$ un générateur de $M_i$ ($1 \leq i \leq n$). On pose

Montrer que le quotient de $M$ par le sous-module monogène $Ab$ est isomorphe à la somme directe des $n$ modules $A/A\beta_i$ ($1 \leq i \leq n$). b) Soient $M$ et $N$ deux modules de longueur finie sur $A$; soient $A\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) et $A\beta_k$ ($1 \leq k \leq p$) les facteurs invariants respectifs de $M$ et $N$, rangés par ordre décroissant; on suppose que $p \leq n$, que $\beta_k$ divise $\alpha_{k+n-p}$ pour $1 \leq k \leq p$, et que $\alpha_k$ divise $\beta_{k+(p+q-n)}$ pour $1 \leq k \leq n-q$, $q$ étant un entier tel que Montrer qu’il existe un sous-module $P$ de $M$, isomorphe à $N$, et tel que $M/P$ soit de rang $\leq q$ (décomposer chacun des deux modules $M$ et $N$ en somme directe de $q$ modules, de façon à se ramener au cas $q = 1$; utiliser ensuite $a$) et l’exerc. 13, g)). c) Pour qu’un module $N$ sur $A$ soit isomorphe à un facteur direct d’un module de longueur finie $M$, il faut et il suffit que tout diviseur élémentaire de $N$ soit un diviseur élémentaire de $M$, et que sa multiplicité dans $N$ soit au plus égale à sa multiplicité dans $M$. En déduire un exemple d’un module de longueur finie $M$ et d’un sous-module $N$ de $M$ tel que le rang de $M$ soit égal à la somme des rangs de $N$ et de $M/N$, et que $N$ n’admette pas de supplémentaire dans $M$ (utiliser $a$).