Bài tập 16, § 4

Cho M là một môđun trên một vành giao hoán A. Một môđun con N của M được gọi là đặc số nếu $u(N) \subset N$ với mọi tự đồng cấu $u$ của M. Với mọi $a \in A$, môđun con $M(\alpha)$ gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi a, và môđun con $\alpha M$, là đặc số. a) Nếu N là một môđun con đặc số của M, và P và Q là hai môđun con bù nhau của M, hãy chứng minh rằng N là tổng trực tiếp của $N \cap P$ và $N \cap Q$ (xét các phép chiếu từ M lên P và Q). b) Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn trên một miền iđêan chính A ; cho $Aa_i$ là các nhân tử bất biến của M, được sắp xếp theo thứ tự giảm ($1 \leq i \leq n$) ; cho $(M_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy các môđun con của M sao cho M là tổng trực tiếp của các M, và mỗi $M_i$ đẳng cấu với $A/A\alpha_i$. Cho N là một môđun con đặc số của M và cho $A\beta_i$ là linh hóa tử của $N \cap M_i$ ($1 \leq i \leq n$) ; nếu $a_i = \beta_i \gamma_i$, hãy chứng minh rằng $\beta_i$ chia hết $\beta_{i+1}$, và $\gamma_i$ chia hết $\gamma_{i+1}$ với mọi $1 \leq i \leq n - 1$ (chú ý rằng, với $1 \leq i \leq n - 1$, tồn tại một tự đồng cấu của M biến $M_{i+1}$ lên $M_i$, và một tự đồng cấu của M biến M, lên một môđun con của $M_{i+1}$). c) Ngược lại, cho N là một môđun con của M là tổng trực tiếp của các môđun con $N_i \subset M_i$; giả sử các linh hóa tử $A\beta_i$ của N, ($1 \leq i \leq n$) thỏa mãn các điều kiện trên. Khi đó hãy chứng minh rằng N là một môđun con đặc số của M. Suy ra rằng nếu hai môđun con đặc số của M có cùng các nhân tử bất biến thì chúng bằng nhau.