Exercice 16, § 4

Soit $M$ un module sur un anneau commutatif $A$. On dit qu’un sous-module $N$ de $M$ est caractéristique si, pour tout endomorphisme $u$ de $M$, on a $u(N) \subset N$. Pour tout $\alpha \in A$, le sous-module $M(\alpha)$ des éléments $x \in M$ annulés par $\alpha$, et le sous-module $\alpha M$, sont caractéristiques. a) Si $N$ est un sous-module caractéristique de $M$, $P$ et $Q$ deux sous-modules supplémentaires dans $M$, montrer que $N$ est somme directe de $N \cap P$ et de $N \cap Q$ (considérer les projections de $M$ sur $P$ et $Q$). b) Soit $M$ un module de longueur finie sur un anneau principal $A$; soient $A\alpha_i$ les facteurs invariants de $M$, rangés par ordre décroissant ($1 \leq i \leq n$); soit $(M_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite de sous-modules de $M$ telle que $M$ soit somme directe des $M_i$ et que $M_i$ soit isomorphe à $A/A\alpha_i$ pour $1 \leq i \leq n$. Soit $N$ un sous-module caractéristique de $M$, et soit $A\beta_i$ l’annulateur de $N \cap M_i$ ($1 \leq i \leq n$); si l’on pose $\alpha_i = \beta_i \gamma_i$, montrer que, pour $1 \leq i \leq n - 1$, $\beta_i$ divise $\beta_{i+1}$ et $\gamma_i$ divise $\gamma_{i+1}$ (remarquer que, pour $1 \leq i \leq n - 1$, il existe un endomorphisme de $M$ qui transforme $M_{i+1}$ en $M_i$, et un endomorphisme de $M$ qui transforme $M_i$ en un sous-module de $M_{i+1}$). c) Réciproquement, soit $N$ un sous-module de $M$, somme directe de sous-modules $N_i \subset M_i$; on suppose que les annulateurs $A\beta_i$ des $N_i$ ($1 \leq i \leq n$) satisfassent aux conditions précédentes. Montrer que $N$ est un sous-module caractéristique de $M$. En déduire que, si deux sous-modules caractéristiques de $M$ ont mêmes facteurs invariants, ils sont égaux.