Bài tập 17, § 4

Cho A là một miền iđêan chính, cho a là một phần tử khác không của A, và cho E là môđun $A/A\alpha$. Khi đó tích $E^n$ là đẳng cấu với $A^n/(\alpha A^n)$. a) Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ $E^n$ vào $E^m$; hãy chỉ ra rằng u có thể thu được từ một ánh xạ tuyến tính v từ $A^n$ vào $A^m$ khi chuyển qua các thương. b) Cho $A\beta_i$ ($1 \leq i \leq p \leq \inf(m, n)$) là các thừa số bất biến của $v(A^n)$ đối với $A^m$, được sắp xếp theo thứ tự giảm; cho q $\leq p$ là lớn nhất trong các chỉ số i sao cho hoặc không chia hết cho $\beta_i$, và cho $\delta_i$ là một ước chung lớn nhất của a và $\beta_i$ với $1 \leq i \leq q$. Hãy chỉ ra rằng hạt nhân $u^{-1}(0)$ của u là tổng trực tiếp của $n-q$ môđun đẳng cấu với E và q môđun xyclic đẳng cấu với $A/A\delta_i$ tương ứng ($1 \leq i \leq q$). Nếu $a = \gamma_i \delta_i$ ($1 \leq i \leq q$), hãy chỉ ra rằng môđun $u(E^n)$ có các thừa số bất biến $A\gamma_i$.