Exercice 17, § 4

Soient $A$ un anneau principal, $\alpha$ un élément $\neq 0$ de $A$, $E$ le module $A/A\alpha$. Le produit $E^n$ est isomorphe à $A^n/(\alpha A^n)$. a) Soit $u$ une application linéaire de $E^n$ dans $E^m$; montrer que $u$ peut s’obtenir par passage aux quotients à partir d’une application linéaire $v$ de $A^n$ dans $A^m$. b) Soient $A\beta_i$ ($1 \leq i \leq p \leq \inf(m, n)$) les facteurs invariants de $v(A^n)$ par rapport à $A^m$, rangés par ordre décroissant ; soit $q \leq p$ le plus grand des indices $i$ tels que $\alpha$ ne divise pas $\beta_i$, et soit $\delta_i$ un pgcd de $\alpha$ et $\beta_i$ pour $1 \leq i \leq q$. Montrer que le noyau $u^{-1}(0)$ de $u$ est somme directe de $n - q$ modules isomorphes à $E$ et de $q$ modules monogènes isomorphes aux modules $A/A\delta_i$ respectivement ($1 \leq i \leq q$). Si l’on pose $\alpha = \gamma_i \delta_i$ ($1 \leq i \leq q$), montrer que le module $u(E^n)$ a pour facteurs invariants les $A\gamma_i$.