Bài tập 19, § 4

Cho C là một miền iđêan chính. Xét một hệ gồm m « đồng dư tuyến tính »

trong đó các hệ số, các vế phải và phần tử hoặc tất cả đều thuộc C, và trong đó a là khác không; gọi A là ma trận (a,,), gọi B là ma trận nhận được bằng cách mở rộng A bởi cột ($\beta_i$), và gọi $\delta_k$ (tương ứng $\delta'_k$) là một ước chung lớn nhất của các định thức con cấp k của A (tương ứng B). Khi đó hệ có ít nhất một nghiệm trong $\mathbf{C}^n$ khi và chỉ khi: a) Nếu $m \leq n$, một ước chung lớn nhất của $a^m, a^{m-1}\delta_1, \ldots, \alpha\delta_{m-1}, \delta_m$ bằng một ước chung lớn nhất của $\alpha^m, a^{m-1}\delta'_1, \ldots, \alpha\delta'_{m-1}, \delta'_m$; b) nếu $m > n$, một ước chung lớn nhất của $\alpha^{n+1}, \alpha^n\delta_1, \ldots, \alpha\delta_n$ bằng một ước chung lớn nhất của $\alpha^{n+1}, \alpha^n\delta'_1, \ldots, \delta'_{n+1}$. (Rút gọn hệ các đồng dư tuyến tính thành một hệ các phương trình tuyến tính, và sử dụng Bài tập 18.)