Algèbre, VII, p. 64
Soit C un anneau principal. On considère un système de m « congruences linéaires »
j=1∑nαijξj≡βi(modα), ouˋ les coefficients, les seconds membres et l’eˊleˊment α appartiennent aˋ C, et où
α est non nul ; on désigne par
A la matrice
(αij), par
B la matrice obtenue en bordant
A par la colonne
(βi), par
δk (resp.
δk′) un pgcd des mineurs d’ordre
k de
A (resp.
B). Pour que le système admette au moins une solution dans
Cn, il faut et il suffit que : a) Si
m≤n, un pgcd de
αm,αm−1δ1,…,αδm−1,δm soit égal à un pgcd de
αm,αm−1δ1′,…,αδm−1′,δm′; b) si
m>n, un pgcd de
αn+1,αnδ1,…,αδn soit égal à un pgcd de
αn+1,αnδ1′,…,δn+1′. (Ramener le système de congruences linéaires à un système d’équations linéaires, et utiliser l’exerc. 18.)