Bài tập 20, § 4

a) Cho C là một miền iđêan chính, và

là một dạng p-tuyến tính trên $E^p$, trong đó E là C-môđun $C^n$ (và $\xi_{ij}$ ký hiệu tọa độ thứ j của $x_i$). Chứng minh rằng nếu 6 là một ước chung lớn nhất của các hệ số $\alpha_{i_1 \ldots i_p}$ thì tồn tại một phần tử $(a_i) \in E^p$ sao cho $f(a_1, \ldots, a_p) = 6$ (rút gọn về trường hợp $6 = 1$, và lập luận bằng quy nạp theo p, sử dụng Định lý 1 của VII, p. 18). b) Cho $n > 1$ là một số nguyên, và $\alpha_i \ (1 \leq i \leq n)$ là n phần tử của C có ước chung lớn nhất 6. Chứng minh rằng tồn tại một ma trận vuông A cấp n trên C mà cột đầu tiên là (a,) và định thức của nó là 6 (sử dụng a)).