Exercice 20, § 4

a) Soit $C$ un anneau principal, et soit

une forme $p$-linéaire sur $E^p$, où $E$ est le $C$-module $C^n$ ($\xi_{ij}$ désignant la $j$-ième coordonnée

EXERCICES

de $x_i$. Montrer que si $\delta$ est un pgcd des coefficients $\alpha_{i_1...i_p}$, il existe un élément $(a_k) \in E^p$ tel que $f(a_1, ..., a_p) = \delta$ (se ramener au cas où $\delta = 1$, et raisonner par récurrence sur $p$, en utilisant le th. 1 de VII, p. 17). b) Soient $n$ un entier $> 1$, $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) $n$ éléments de $C$, $\delta$ un pgcd des $\alpha_i$. Montrer qu’il existe une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ sur $C$, ayant pour première colonne $(\alpha_i)$ et pour déterminant $\delta$ (utiliser $a$).