Bài tập 21, § 4

Cho C là một miền iđêan chính, và cho $A = (\alpha_{ij})$ là một ma trận vuông cấp n trên C. a) Chứng minh rằng tồn tại một ma trận vuông U cấp n trên C, có định thức 1, sao cho cột cuối cùng của ma trận UA có $(n-1)$ phần tử đầu tiên bằng không, và phần tử cuối cùng bằng ước chung lớn nhất của các phần tử trong cột thứ n của $A$ (dùng Bài tập 20, b)). b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một ma trận vuông V cấp n trên C, có định thức 1, sao cho ma trận VA = $(\beta_{ij})$ là tam giác dưới ("dạng rút gọn Hermite của A"). c) Nếu W là một ma trận vuông cấp n trên C, có định thức 1, sao cho WA = (y,,) là tam giác dưới, chứng minh rằng $\beta_{ii}$ và $\gamma_{ii}$ là liên kết với $1 \leq i \leq n$.