Exercice 21, § 4

Soient $C$ un anneau principal, $A = (\alpha_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ sur $C$. a) Montrer qu’il existe une matrice carrée $U$ d’ordre $n$ sur $C$, de déterminant 1, telle que la dernière colonne de la matrice $UA$ ait ses $n - 1$ premiers termes nuls, le $n$-ième étant un pgcd des termes de la $n$-ième colonne de $A$ (utiliser l’exerc. 20, b)). b) Déduire de a) qu’il existe une matrice carrée $V$ d’ordre $n$ sur $C$, de déterminant 1, telle que la matrice $VA = (\beta_{ij})$ soit triangulaire inférieure (« forme réduite d’Hermite » de $A$). c) Si $W$ est une matrice carrée d’ordre $n$ sur $C$, de déterminant 1, telle que $WA = (\gamma_{ij})$ soit triangulaire inférieure, montrer que $\beta_{ii}$ et $\gamma_{ii}$ sont associés pour $1 \leq i \leq n$.