Bài tập 22, § 4

Một môđun M trên một miền iđêan chính được gọi là có hạng hữu hạn nếu tồn tại một số nguyên $m \geq 0$ có tính chất sau: mọi môđun con sinh hữu hạn của M đều được chứa trong một môđun con sinh bởi m phần tử hoặc ít hơn. Số nguyên nhỏ nhất $m$ có tính chất này được gọi là hạng của M. a) Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì mọi môđun thương đều có hạng hữu hạn, nhiều nhất bằng hạng của M. b) Đối với một môđun không xoắn M, khái niệm hạng được định nghĩa ở trên trùng với khái niệm được định nghĩa trong II, p. 315. c) Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì mọi môđun con của M đều có hạng hữu hạn, nhiều nhất bằng hạng của M. d) Cho M là một môđun $\pi$-nguyên sơ sao cho $M(\pi) = M$ (theo ký hiệu của VII, p. 7). Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì nó sinh hữu hạn. e) Cho M là một môđun $\pi$-nguyên sơ không có phần tử nào có độ cao vô hạn. Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì nó sinh hữu hạn, và khái niệm hạng trùng với khái niệm được định nghĩa trong

(Nhận xét rằng nếu $M(\pi)$ sinh hữu hạn thì $M$ cũng vậy, bằng cách chứng minh rằng các chiều cao của các phần tử của $M(\pi)$ trong $M$ bị chặn; dùng Bài tập 5 của VII, p. 55 để chỉ ra điều này.) f) Cho $M$ là một môđun $\tau$-nguyên sơ có hạng hữu hạn $r$, và gọi $M_s$ là môđun con gồm tất cả các phần tử có chiều cao vô hạn trong $M$. Chứng minh rằng $M_s$ là một môđun chia được, và là tổng trực tiếp của một số hữu hạn $p \leq r$ các môđun con không phân tích được $U_{\pi}$ (VII, p. 54, Bài tập 3), và rằng $M$ là tổng trực tiếp của $M_0$ và một môđun con $N$ sinh hữu hạn có hạng $r - p$. (Nhận xét rằng $M/M_0$ sinh hữu hạn, dùng e); sau đó áp dụng Bài tập 3 của VII, p. 54.) g) Suy ra từ điều trên rằng một $A$-môđun $M$ có hạng hữu hạn $r$ khi và chỉ khi môđun thương $M/T$ của $M$ theo môđun con xoắn $T$ của nó có hạng hữu hạn $p \leq r$, và rằng mỗi thành phần $\pi$-nguyên sơ của $T$ có hạng $\leq r - p$, với ít nhất một trong chúng có hạng $r - p$. h) Cho $(p_n)$ là dãy các số nguyên tố phân biệt; cho $E$ là tổng trực tiếp của các $\mathbf{Z}$-môđun chu kỳ $\mathbf{Z}/p_n^2\mathbf{Z}$, và gọi $e_n$ là phần tử mà tất cả các tọa độ đều bằng không trừ tọa độ thứ n, tọa độ này bằng lớp thặng dư của 3 mod $p_n^2$. Cho $M$ là môđun con của $\mathbf{Z}$-môđun $E \times \mathbf{Q}$ sinh bởi các phần tử $(e_n, 1/p_n)$. Chứng minh rằng $M$ là một $\mathbf{Z}$-môđun có hạng 2, rằng môđun con xoắn $T$ của $M$ được sinh bởi các phần tử $(p_n e_n, 0)$, và rằng $T$ không là một nhân tử trực tiếp của $M$. (Nếu $\bar{x}_n$ là lớp của $(e_n, 1/p_n)$ mod $T$, chứng minh rằng với mọi $m \neq n$ tồn tại một lớp $\bar{y}_{nm}$ mod $T$ sao cho $\bar{x}_n = p_m \bar{y}_{nm}$, nhưng không có phần tử $x_n$ nào trong lớp $\bar{x}_n$ sao cho với mọi $m \neq n$ tồn tại $y_n \in M$ với $x_n = p_m y_{nm}$.) i) Nếu $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, chứng minh rằng hạng của $M$ bằng lực lượng nhỏ nhất $\gamma(M)$ của một tập hợp sinh bất kỳ của $M$. j) Cho $M$ là một $A$-môđun xoắn có hạng hữu hạn. Chứng minh rằng nếu $N$ là một môđun con thực sự của $M$ thì $N$ không thể đẳng cấu với $M$ (dùng f)).