Exercice 22, § 4

On dit qu’un module $M$ sur un anneau principal est de rang fini s’il existe un entier $m \geq 0$ ayant la propriété suivante : tout sous-module de type fini de $M$ est contenu dans un sous-module de $M$ ayant un système de générateurs de $m$ éléments au plus. Le plus petit nombre $m$ ayant cette propriété est appelé le rang de $M$. a) Montrer que si $M$ est de rang fini, tout module quotient de $M$ est de rang fini, au plus égal à celui de $M$. b) Pour un module sans torsion $M$, la notion de rang définie ci-dessus coïncide avec celle définie en II, p. 117. c) Montrer que si $M$ est de rang fini, tout sous-module de $M$ est de rang fini, au plus égal à celui de $M$. d) Soit $M$ un module $\pi$-primaire tel que $M(\pi) = M$ (notations de VII, p. 7). Montrer que si $M$ est de rang fini, il est de type fini. e) Soit $M$ un module $\pi$-primaire sans élément de hauteur infinie. Montrer que si $M$ est de rang fini, il est de type fini, et que la notion de rang coïncide alors avec celle définie dans l’exerc. 8. (Remarquer que si $M(\pi)$ est de type fini, il en est de même de $M$, en prouvant que les hauteurs dans $M$ des éléments de $M(\pi)$ sont bornées ; on utilisera pour cela l’exerc. 5 de VII, p. 54.) f) Soient $M$ un module $\pi$-primaire de rang fini $r$, $M_0$ le sous-module de $M$ formé des éléments de hauteur infinie dans $M$. Montrer que $M_0$ est un module divisible, somme directe d’un nombre fini $p \leq r$ de sous-modules indécomposables $U_\pi$ (VII, p. 53, exerc. 3), et que $M$ est somme directe de $M_0$ et d’un sous-module $N$ de type fini et de rang $r - p$. (Remarquer, à l’aide de e), que $M/M_0$ est de type fini ; utiliser ensuite l’exerc. 3 de VII, p. 53.) g) Conclure de ce qui précède que, pour que $M$ soit un $A$-module de rang fini $r$, il faut et il suffit que le module quotient $M/T$ de $M$ par son module de torsion $T$ soit de rang fini $p \leq r$, et que chacun des composants $\pi$-primaires de $T$ soit de rang $\leq r - p$, l’un au moins étant de rang $r - p$. h) Soit $(p_n)$ la suite des nombres premiers distincts ; soit $E$ le $\mathbf{Z}$-module somme directe des $\mathbf{Z}$-modules monogènes $\mathbf{Z}/p_n^2\mathbf{Z}$, et soit $e_n$ l’élément de $E$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf celle d’indice $n$, égale à la classe de 1 mod. $p_n^2$. Soit $M$ le sous-module du $\mathbf{Z}$-module $E \times \mathbf{Q}$, engendré par les éléments $(e_n, 1/p_n)$. Montrer que $M$ est un $\mathbf{Z}$-module de rang 2, que le sous-module de torsion $T$ de $M$ est engendré par les éléments $(p_ne_n, 0)$, et n’est pas facteur direct dans $M$. (Si $\overline{x}_n$ est la classe de $(e_n, 1/p_n)$ modulo $T$, montrer que pour tout $m \neq n$ il existe une classe $\overline{y}_{nm}$ modulo $T$ telle que $\overline{x}_n = p_m \overline{y}_{nm}$, mais qu’il n’existe aucun élément $x_n$ de la classe $\overline{x}_n$ tel que, pour tout $m \neq n$, il existe $y_{nm} \in M$ tel que $x_n = p_n y_{nm}$.) i) Si $M$ est un $A$-module de type fini, montrer que le rang de $M$ est égal au minimum $\gamma(M)$ des cardinaux des systèmes générateurs de $M$. j) Soit $M$ un $A$-module de torsion de rang fini. Montrer que si $N$ est un sous-module de $M$, distinct de $M$, alors $N$ ne peut être isomorphe à $M$ (utiliser f)).