Bài tập 6, § 4

Cho A là một vành giao hoán và E là một A-môđun. Ký hiệu $\mathscr{E}$ là vành $\mathrm{End}_\mathbf{Z}(E)$ của các tự đồng cấu của nhóm Abel E (không có toán tử); với mỗi vành con $B \subset \mathscr{E}$, ký hiệu $B'$ là tâm hóa của B trong $\mathscr{E}$ (vành con của $\mathscr{E}$ gồm các phần tử giao hoán với mọi phần tử của B). a) Gọi $A_0$ là vành con của $\mathscr{E}$ gồm các phép vị tự $x \mapsto \lambda x$ ($\lambda \in A$); nếu a là linh hóa tử của E, thì biết rằng $A_0$ đẳng cấu với $A/a$, và tâm hóa $A_0'$ của nó trong $\mathscr{E}$ là vành $\mathrm{End}_A(E)$ gồm các tự đồng cấu của E như một A-môđun. Chứng minh rằng tâm hóa $A_0''$ của $A_0'$ là giao hoán, và tâm hóa $A_0'''$ của nó bằng $A_0'$ (chú ý rằng $A_0 \subset A_0'$). b) Nếu môđun con F là một nhân tử trực tiếp của E, chứng minh rằng $u(F) \subset F$ với mọi $u \in A_0'$ (xét phép chiếu của E lên F thu được từ phân tích của E thành tổng trực tiếp của F và một môđun con khác). c) Giả sử rằng E là tổng trực tiếp của một họ $(F_i)$ các môđun con cyclic. Nếu $u \in A_0'$ chứng minh rằng, với mỗi chỉ số i, tồn tại một phần tử $a_i \in A$ sao cho $u(x) = a_i x$ với mọi $x \in F_i$ (sử dụng b)). d) Giả sử E là tổng trực tiếp của một dãy $(E_n)$ (hữu hạn hoặc vô hạn) các môđun con cyclic sao cho, nếu $b_n$ ký hiệu linh hóa tử của $E_n$, thì dãy $(b_n)$ tăng. Chứng minh rằng $A_0' = A_0$ (sử dụng c)), và sự kiện rằng với mỗi chỉ số $i > 1$ tồn tại một tự đồng cấu $v_i \in A_0'$ biến $E_i$ vào $E_i$. Áp dụng điều này vào trường hợp A là một miền iđêan chính và E là một A-môđun hữu hạn sinh.