Exercice 6, § 4

Soit A un anneau commutatif et soit E un A-module. On désigne par $\mathscr{E}$ l’anneau $\mathrm{End}_{\mathbf{Z}}(E)$ des endomorphismes du groupe commutatif (sans opérateurs) E ; pour tout sous-anneau $B \subset \mathscr{E}$, on désigne par $B'$ le commutant de B dans $\mathscr{E}$ (sous-anneau de $\mathscr{E}$ formé des éléments de $\mathscr{E}$ permutables avec tous les éléments de B). a) Soit $A_0$ le sous-anneau de $\mathscr{E}$ formé des homothéties $x \mapsto \lambda x \ (\lambda \in A)$ ; on sait que si $a$ est l’annulateur de E, $A_0$ est isomorphe à $A/a$ et son commutant $A'_0$ dans $\mathscr{E}$ est l’anneau $\mathrm{End}_A(E)$ des endomorphismes du A-module E. Montrer que le commutant $A''_0$ de $A'_0$ est commutatif, et que son commutant $A'''_0$ est égal à $A'_0$ (remarquer que $A_0 \subset A'_0$). b) Si un sous-module F de E est facteur direct de E, montrer que $u(F) \subset F$ pour tout $u \in A''_0$ (considérer la projection de E sur F dans une décomposition de E en somme directe de F et d’un autre sous-module). c) On suppose que E soit somme directe d’une famille $(F_i)$ de sous-modules monogènes. Si $u \in A''_0$, montrer que, pour tout indice i, il existe un élément $\alpha_i \in A$ tel que, pour tout $x \in F_i$, on ait $u(x) = \alpha_i x$ (utiliser b)). d) On suppose que E soit somme directe d’une suite $(E_n)$ (finie ou infinie) de sous-modules monogènes telle que, si $b_n$ est l’annulateur de $E_n$, la suite $(b_n)$ soit croissante. Montrer qu’on a $A''_0 = A_0$ (utiliser c), ainsi que le fait que, pour tout indice $i > 1$, il existe un endomorphisme $v_i \in A'_0$ qui transforme $E_{i-1}$ en $E_i$. Application au cas où A est un anneau principal et E un module de type fini sur A.