Bài tập 7, § 4

Cho A là một miền iđêan chính với trường phân thức K, và cho E là một A-môđun sinh hữu hạn, xoắn, không xoắn có hạng $n$. Cho $E^*$ là môđun đối ngẫu của E; khi đó E và $E^*$ đều đẳng cấu với $A^n$.

a) Cho M là một môđun con của E; hãy chứng minh rằng, nếu $M^0$ là môđun con của $E^*$ trực giao với M, thì môđun $E^*/M^0$ là không xoắn, và do đó $M^0$ là một nhân tử trực tiếp của $E^*$; môđun con $M^{00}$ của E trực giao với $M^0$ bằng $E \cap KM$ (coi E được nhúng một cách chính tắc vào một không gian vectơ chiều n trên K). Ta có thể coi $E^*/M^0$ được nhúng một cách chính tắc vào môđun đối ngẫu $M^*$ của M; hãy chứng minh rằng các nhân tử bất biến của $E^*/M^0$ đối với $M^*$ bằng các nhân tử bất biến của M đối với E (dùng Đl. 1 của VII, p. 18).

b) Cho F là một A-môđun sinh hữu hạn, không xoắn thứ hai, và cho $u$ là một phép biến đổi tuyến tính từ E vào F. Hãy chứng minh rằng các nhân tử bất biến của $'u(F^*)$ đối với $E^*$ bằng các nhân tử bất biến của $u(E)$ đối với F (tiến hành như trong Mđ. 5 của VII, p. 21).