Exercice 7, § 4

Soient A un anneau principal, K son corps des fractions, E un module sans torsion de type fini et de rang n sur A. Soit E* le dual de E ; E et E* sont tous deux isomorphes à $A^n$. a) Soit M un sous-module de E ; montrer que, si $M^0$ est le sous-module de E* orthogonal à M, le module $E^*/M^0$ est sans torsion, et par suite $M^0$ est facteur direct dans E* ; le sous-module $M^{00}$ de E orthogonal à $M^0$ est identique à $E \cap KM$ (E étant considéré comme plongé canoniquement dans un espace vectoriel sur K de dimension n). On peut considérer $E^*/M^0$ comme plongé canoniquement dans le dual $M^*$ de M ; montrer que les facteurs invariants de $E^*/M^0$ par rapport à $M^*$ sont égaux aux facteurs invariants de M par rapport à E (utiliser le th. 1 de VII, p. 17). b) Soit F un second module sans torsion et de type fini sur A, et soit $u$ une application linéaire de E dans F. Montrer que les facteurs invariants de $'u(F^*)$ par rapport à E* sont égaux à ceux de $u(E)$ par rapport à F (procéder comme dans la prop. 5 de VII, p. 21).