Bài tập 9, § 4

Cho A là một miền iđêan chính và K là trường phân thức của nó; cho E là một không gian vectơ trên K, cho M là một A-môđun sinh hữu hạn có hạng $n$ được chứa trong E, cho N là một A-môđun sinh hữu hạn có hạng p được chứa trong KM, và cho P là một $A$-môđun sinh hữu hạn có hạng q được chứa trong KN.

a) Cho $A\alpha_i$ ($1 \leq i \leq p$) là các yếu tố bất biến của N đối với M, được sắp theo thứ tự giảm (Bài tập 3). Chứng minh rằng, với $1 \leq k \leq p$, phần tử $\alpha_k$ là một ước chung lớn nhất của những phần tử $A \in K$ sao cho hạng của môđun thương $(N + \lambda(KN \cap M))/N$ không vượt quá $p - k$ (xem Bài tập 8, d)).

b) Cho $A\beta_j$ ($1 \leq j \leq q$) là các yếu tố bất biến của P đối với M và Ay, ($1 \leq j \leq q$) là các yếu tố bất biến của P đối với N, được sắp theo thứ tự giảm. Chứng minh rằng $\alpha_1 \gamma_j$ chia hết $\beta_j$ với $1 \leq j \leq q$ (xem Bài tập 8).

c) Chứng minh rằng $\gamma_1 \alpha_j$ chia hết $\beta_j$ với $1 \leq j \leq q$. (Trước hết xét trường hợp $n = p = q$, và áp dụng Bài tập 8. Trong trường hợp tổng quát, chứng minh rằng ta luôn có thể giả sử $p = n$, và xét một môđun con Q của M sao cho $P + \rho Q$ có hạng p với mọi $\rho \in A$; sau đó chọn iđêan $Ap$ đủ nhỏ, và áp dụng Mệnh đề 4 của VII, p. 20.)

d) Với mọi môđun con H của N có hạng $k \leq p$, đặt $(\mu_{H})$ là iđêan phân thức gồm các $\mu \in K$ sao cho $\mu(M \cap KH) \subset H$. Suy ra từ c) rằng với mỗi $1 \leq k \leq p$, phần tử $a_{k}$ là một ước chung lớn nhất của các $\mu_{H}$ khi H chạy qua tất cả các môđun con của N có hạng k.

T 10) Cho A là một miền iđêan chính và cho M là một môđun con có hạng $n$ trong $E = A^{n}$; cho $A\alpha_{i}$ ($1 \leq i \leq n$) là các yếu tố bất biến của M đối với E, được sắp theo thứ tự giảm. Cho N là một môđun con của M nhận một môđun con bù trong M (nghĩa là $N = M \cap KN$, trong đó K là trường phân thức của A). a) Cho P là một môđun con bù của N trong M. Chứng minh rằng môđun con $(P + (E \cap KN))/M$ của $E/M$ đẳng cấu với $(E \cap KN)/N$. Suy ra rằng, nếu N có hạng p và $A\beta_{k}$ ($1 \leq k \leq p$) là các yếu tố bất biến của N đối với E, thì $\beta_{k}$ chia hết $\alpha_{k+n-p}$ với $1 \leq k \leq p$ (dùng Bài tập 8, d)).

b) Cho một ví dụ để chứng minh rằng môđun $E/M$ không nhất thiết đẳng cấu với tích của các môđun $(E \cap KN)/N$ và $E/(P + (E \cap KN))$ (lấy $E/M$ không phân tích được).

T 11) Cho A là một miền iđêan chính, cho H là một môđun con của $E = A^{n}$, và cho $H^{0}$ là môđun con của môđun đối ngẫu $E^{*}$ của E trực giao với H (Bài tập 7). Cho M là một môđun con hạng p của E và cho $Aa_{i}$ ($1 \leq i \leq p$) là các nhân tử bất biến của M đối với E, được sắp xếp theo thứ tự giảm. Gọi $(\nu_{H})$ là ước chung lớn nhất của các iđêan $f(M)$ của A khi f chạy qua $H^{0}$; hãy chứng minh rằng, với $1 \leq k \leq p$, phần tử $a_{k}$ là một ước chung lớn nhất của các $\nu_{H}$ đối với mọi môđun con H của E có hạng $k - 1$ và nhận một môđun bù trong E (trước hết xét trường hợp $k = 1$; áp dụng kết quả cho môđun con $(M + H)/H$ của $E/H$, và dùng Bài tập 8, d), áp dụng cho môđun thương $E/(M + H)$ của $E/M$.

12) Cho G là một môđun có độ dài hữu hạn trên một vành A. Hãy chứng minh rằng một môđun con H của G chỉ có thể đẳng cấu với G nếu nó bằng G (xem II, p. 212, Mệnh đề 16).

13) Cho A là một miền iđêan chính với trường phân thức K. a) Hãy chứng minh rằng, với mọi A-môđun M, đồng cấu chính tắc $c_{M}: M \to D(D(M))$ là đơn ánh (xem II, p. 389, Bài tập 13). b) Nếu $u: M \to N$ là một đồng cấu của các A-môđun, hãy định nghĩa các đẳng cấu tự nhiên từ $D(\operatorname{Im}(u))$ lên $\operatorname{Im}(D(u))$, từ $D(\operatorname{Ker}(u))$ lên $\operatorname{Coker}(D(u))$, và từ $D(\operatorname{Coker}(u))$ lên $\operatorname{Ker}(D(u))$. c) Cho M là một A-môđun và N là một môđun con của M. Theo ký hiệu của § 9, hãy chứng minh rằng $N^{00} = N$ (dùng a) và b)). Môđun $N^{0}$ có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi $M/N$ có độ dài hữu hạn. Ngược lại, với mọi môđun con $N'$ của $D(M)$ có độ dài hữu hạn, môđun ${N'}^{0}$ là một môđun con của M sao cho $M/N^{0}$ có độ dài hữu hạn, và $N' = {N'}^{00}$. d) Nếu M là một A-môđun xoắn, và $M_{\pi}$ ký hiệu thành phần $\tau$-nguyên sơ của M, hãy chứng minh rằng $D(M)$ đẳng cấu với $\prod_{\pi \in P} \operatorname{Hom}(M_{\pi}, U_{\pi})$, trong đó P là một hệ các đại diện của các phần tử bất khả quy của A và $U_{\pi}$ là thành phần $\tau$-nguyên sơ của $K/A$ với mỗi $\tau \in P$ (VII, p. 54 Bài tập 3). e) Suy ra từ d) rằng $D(K/A)$ đẳng cấu với tích $\prod_{\pi \in P} \hat{A}_{(\pi)}$, trong đó $\hat{A}_{(\pi)}$ chỉ sự hoàn thành của vành $A_{(\pi)}$ được định nghĩa trong VII, p. 54, Bài tập 2, đối với tôpô được xác định bằng cách lấy các iđêan $\pi''A_{(\pi)}$ làm cơ sở của các lân cận mở của 0 (sự hoàn thành này cũng có thể được đồng nhất với giới hạn ngược $\varprojlim (A/A\pi'')$). f) Nếu M là một A-môđun có độ dài hữu hạn, và a là linh hóa tử của nó, hãy chứng minh rằng $D(M)$ đẳng cấu với môđun đối ngẫu của A-môđun trung thành $(A/a)$ liên kết với M. g) Cho M là một A-môđun có độ dài hữu hạn. Hãy chứng minh rằng nếu N là một môđun con của M, thì tồn tại một môđun con P của M sao cho M/N đẳng cấu với P và M/P đẳng cấu với N (dùng VII, p. 26, Mệnh đề 10 và VII, p. 27, Mệnh đề 12); hai môđun con của M có các tính chất này được gọi là đối ứng. Hãy chứng minh rằng, với mọi a ∈ A, môđun con M(α) của M gồm tất cả $x \in M$ sao cho $\alpha x = 0$, và môđun con αM, là đối ứng.

T 14) Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn trên một miền iđêan chính A với trường phân thức K. a) Hãy chứng minh rằng nếu N là một môđun con của M thì hạng của M nhỏ hơn hoặc bằng tổng các hạng của N và M/N (cho M = E/H, trong đó E là một môđun tự do hạng n và H là một môđun con hạng n của E; nếu N = L/H, trong đó H ⊂ L ⊂ E, hãy chú ý rằng, nếu hạng của N là p, thì tồn tại một môđun con R của H, hạng n − p, nhận một môđun bù S trong L sao cho S ∩ H là một môđun bù của R trong H; hơn nữa, (E ∩ KR)/R có hạng ≥ n − p và đẳng cấu với một môđun thương của E/L (Bài tập 10, a)); hoàn thành chứng minh bằng cách dùng Bài tập 8, b)). b) Cho N là một môđun con hạng p của M, và cho q là hạng của M/N. Cho Aa, (1 ≤ i ≤ n) là các nhân tử bất biến của M và Aβ_k (1 ≤ k ≤ p) là các nhân tử bất biến của N, được sắp xếp theo thứ tự giảm. Hãy chứng minh rằng β_k là một bội của a, (p + q − n) (dùng a) và Bài tập 8, c), chú ý rằng (λM)/(λN) đẳng cấu với một môđun thương của M/N).

T 15) a) Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn và hạng n trên một miền iđêan chính A, và cho Aα_i (1 ≤ i ≤ n) là các nhân tử bất biến của nó theo thứ tự giảm. Cho (β_i) (1 ≤ i ≤ n) là một dãy các phần tử của A sao cho β_i chia hết a, với 1 ≤ i ≤ n và a, chia hết β_{i−1}, với 1 ≤ i ≤ n − 1. Cho (M_i)_{≤ i ≤ n} là một dãy các môđun con của M sao cho M là tổng trực tiếp của các M_i và mỗi M_i đẳng cấu với A/Aα_i; cho a_i là một phần tử sinh của M_i với 1 ≤ i ≤ n. Đặt

Hãy chứng minh rằng thương của M bởi môđun con chu trình Ab đẳng cấu với tổng trực tiếp của n môđun A/Aβ_i (1 ≤ i ≤ n). b) Cho M và N là hai môđun có độ dài hữu hạn trên A; cho Aα_i (1 ≤ i ≤ n) và Aβ_k (1 ≤ k ≤ p) là các nhân tử bất biến của M và N tương ứng, được sắp xếp theo thứ tự giảm; giả sử rằng p ≤ n, rằng β_k chia hết α_{k+n−p} với 1 ≤ k ≤ p, và rằng a_i chia hết β_{k+(p+q−n)} với 1 ≤ k ≤ n − q, trong đó q là một số nguyên sao cho

Hãy chứng minh rằng tồn tại một môđun con P của M, đẳng cấu với N, sao cho M/P có hạng ≤ q (phân tích mỗi trong hai môđun M và N thành một tổng trực tiếp của q môđun, theo cách rút gọn bài toán về trường hợp q = 1; sau đó dùng a) và Bài tập 13, g)). c) Để một môđun N trên A đẳng cấu với một nhân tử trực tiếp của một môđun M có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là mọi ước tử sơ cấp của N đều là một ước tử sơ cấp của M, và bội số của nó trong N nhỏ hơn hoặc bằng bội số của nó trong M. Do đó hãy suy ra một ví dụ về một môđun M có độ dài hữu hạn và một môđun con N của M sao cho hạng của M bằng tổng các hạng của N và M/N, và sao cho N không nhận một môđun bù trong M (dùng a)).

16) Cho M là một môđun trên một vành giao hoán A. Một môđun con N của M được gọi là bất biến nếu $u(N) \subset N$ với mọi tự đồng cấu $u$ của M. Với mọi $a \in A$, môđun con $M(\alpha)$ gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi a, và môđun con $\alpha M$, là bất biến. a) Nếu N là một môđun con bất biến của M, và P và Q là hai môđun con bù nhau của M, hãy chỉ ra rằng N là tổng trực tiếp của $N \cap P$ và $N \cap Q$ (xét các phép chiếu từ M lên P và Q). b) Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn trên một miền iđêan chính A; cho $Aa_i$ là các nhân tử bất biến của M, được sắp xếp theo thứ tự giảm ($1 \leq i \leq n$); cho $(M_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy các môđun con của M sao cho M là tổng trực tiếp của các M, và mỗi $M_i$ đẳng cấu với $A/A\alpha_i$. Cho N là một môđun con bất biến của M và cho $A\beta_i$ là linh hóa tử của $N \cap M_i$ ($1 \leq i \leq n$); nếu $a_i = \beta_i \gamma_i$, hãy chỉ ra rằng $\beta_i$ chia hết cho $\beta_{i+1}$, và $\gamma_i$ chia hết cho $\gamma_{i+1}$ với mọi $1 \leq i \leq n - 1$ (chú ý rằng, với $1 \leq i \leq n - 1$, tồn tại một tự đồng cấu của M biến $M_{i+1}$ lên $M_i$, và một tự đồng cấu của M biến M, lên một môđun con của $M_{i+1}$). c) Ngược lại, cho N là một môđun con của M là tổng trực tiếp của các môđun con $N_i \subset M_i$; giả sử các linh hóa tử $A\beta_i$ của các N, ($1 \leq i \leq n$) thỏa mãn các điều kiện trên. Khi đó hãy chỉ ra rằng N là một môđun con bất biến của M. Suy ra rằng nếu hai môđun con bất biến của M có cùng các nhân tử bất biến thì chúng bằng nhau.

17) Cho A là một miền iđêan chính, cho a là một phần tử khác không của A, và cho E là môđun $A/A\alpha$. Khi đó tích $E^n$ đẳng cấu với $A^n/(\alpha A^n)$. a) Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ $E^n$ vào $E^m$; hãy chỉ ra rằng u có thể thu được từ một ánh xạ tuyến tính v từ $A^n$ vào $A^m$ khi chuyển qua các thương. b) Cho $A\beta_i$ ($1 \leq i \leq p \leq \inf(m, n)$) là các nhân tố bất biến của $v(A^n)$ đối với $A^m$, được sắp xếp theo thứ tự giảm; cho q $\leq p$ là lớn nhất trong các chỉ số i sao cho or không chia hết cho $\beta_i$, và cho $\delta_i$ là một ước chung lớn nhất của a và $\beta_i$ với $1 \leq i \leq q$. Hãy chỉ ra rằng hạt nhân $u^{-1}(0)$ của u là tổng trực tiếp của $n-q$ môđun đẳng cấu với E và q môđun xyclic đẳng cấu với $A/A\delta_i$ tương ứng ($1 \leq i \leq q$). Nếu $a = \gamma_i \delta_i$ ($1 \leq i \leq q$), hãy chỉ ra rằng môđun $u(E^n)$ có các nhân tố bất biến $A\gamma_i$.

18) Cho C là một miền iđêan chính. Xét một hệ phương trình tuyến tính

trong đó các hệ số và các vế phải thuộc C, và cho A là ma trận (or,,) có m hàng và n cột, và B là ma trận thu được bằng cách mở rộng A bởi cột thứ (n + 1)-st ($\beta_i$). Hãy chỉ ra rằng hệ này nhận ít nhất một nghiệm trong $C^n$ khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) A và B có cùng hạng p ; 2) một ước chung lớn nhất của các định thức con cấp p của A bằng một ước chung lớn nhất của các định thức con cấp p của B (sử dụng Mệnh đề 4 của VII, p. 20 và Bài tập 9, c)).

19) Cho C là một miền iđêan chính. Xét một hệ gồm m « đồng dư tuyến tính »

trong đó các hệ số, các vế phải, và phần tử hoặc đều thuộc C, và trong đó a khác không; gọi A là ma trận (a,,), gọi B là ma trận thu được bằng cách mở rộng A bởi cột ($\beta_i$), và gọi $\delta_k$ (tương ứng $\delta'_k$) là một ước chung lớn nhất của các định thức con cấp k của A (tương ứng B). Khi đó hệ có ít nhất một nghiệm trong $\mathbf{C}^n$ khi và chỉ khi: a) Nếu $m \leq n$, một ước chung lớn nhất của $a^m, a^{m-1}\delta_1, \ldots, \alpha\delta_{m-1}, \delta_m$ bằng một ước chung lớn nhất của $\alpha^m, a^{m-1}\delta'_1, \ldots, \alpha\delta'_{m-1}, \delta'_m$; b) nếu $m > n$, một ước chung lớn nhất của $\alpha^{n+1}, \alpha^n\delta_1, \ldots, \alpha\delta_n$ bằng một ước chung lớn nhất của $\alpha^{n+1}, \alpha^n\delta'_1, \ldots, \delta'_{n+1}$. (Rút gọn hệ các đồng dư tuyến tính thành một hệ các phương trình tuyến tính, và sử dụng Bài tập 18.)

20) a) Cho C là một miền iđêan chính, và

là một dạng p-tuyến tính trên $E^p$, trong đó E là C-môđun $C^n$ (và trong đó $\xi_{ij}$ chỉ tọa độ thứ j của $x_i$). Chứng minh rằng nếu 6 là một ước chung lớn nhất của các hệ số $\alpha_{i_1 \ldots i_p}$ thì tồn tại một phần tử $(a_i) \in E^p$ sao cho $f(a_1, \ldots, a_p) = 6$ (quy về trường hợp $6 = 1$, và lập luận bằng quy nạp theo p, sử dụng Định lý 1 của VII, p. 18). b) Cho $n > 1$ là một số nguyên, và $\alpha_i \ (1 \leq i \leq n)$ là n phần tử của C có ước chung lớn nhất 6. Chứng minh rằng tồn tại một ma trận vuông A cấp n trên C mà cột thứ nhất là (a,) và định thức của nó là 6 (sử dụng a)).

21) Cho C là một miền iđêan chính, và cho $A = (\alpha_{ij})$ là một ma trận vuông cấp n trên C. a) Chứng minh rằng tồn tại một ma trận vuông U cấp n trên C, có định thức 1, sao cho cột cuối cùng của ma trận UA có nửa

phần tử đầu bằng không, và phần tử cuối cùng của nó bằng ước chung lớn nhất của các phần tử trong cột thứ n của $A$ (sử dụng Bài tập 20, b)). b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một ma trận vuông V cấp n trên C, có định thức 1, sao cho ma trận VA = $(\beta_{ij})$ là tam giác dưới ("dạng rút gọn Hermite của A"). c) Nếu W là một ma trận vuông cấp n trên C, có định thức 1, sao cho WA = (y,,) là tam giác dưới, chứng minh rằng $\beta_{ii}$ và $\gamma_{ii}$ là liên kết với nhau với $1 \leq i \leq n$.

† 22) Một môđun M trên một miền iđêan chính được gọi là có hạng hữu hạn nếu tồn tại một số nguyên $m \geq 0$ với tính chất sau: mọi môđun con sinh hữu hạn của M đều được chứa trong một môđun con được sinh bởi m phần tử hoặc ít hơn. Số nguyên nhỏ nhất m có tính chất này được gọi là hạng của M. a) Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì mọi môđun thương đều có hạng hữu hạn, nhiều nhất bằng hạng của M. b) Đối với một môđun không xoắn M, khái niệm hạng được định nghĩa ở trên trùng với khái niệm được định nghĩa trong II, p. 315. c) Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì mọi môđun con của M đều có hạng hữu hạn, nhiều nhất bằng hạng của M. d) Cho M là một môđun nguyên sơ-$\pi$ sao cho $M(\pi) = M$ (theo ký hiệu của VII, p. 7). Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì nó sinh hữu hạn. e) Cho M là một môđun nguyên sơ-$\pi$ không có phần tử nào có chiều cao vô hạn. Chứng minh rằng nếu M có hạng hữu hạn thì nó sinh hữu hạn, và khái niệm hạng trùng với khái niệm được định nghĩa trong

(Nhận xét rằng nếu $M(\pi)$ là sinh hữu hạn thì M cũng vậy, bằng cách chứng minh rằng các độ cao của các phần tử của $M(\pi)$ trong $M$ bị chặn; dùng Bài tập 5 của VII, p. 55 để chỉ ra điều này.) f) Cho $M$ là một môđun $\tau$-nguyên sơ có hạng hữu hạn $r$, và ký hiệu $M_s$ là môđun con gồm tất cả các phần tử có độ cao vô hạn trong $M$. Chứng minh rằng $M_s$ là một môđun chia được, và là tổng trực tiếp của một số hữu hạn $p \leq r$ các môđun con không phân tích được $U_{\pi}$ (VII, p. 54, Bài tập 3), và rằng $M$ là tổng trực tiếp của $M_0$ và một môđun con $N$ sinh hữu hạn có hạng $r - p$. (Nhận xét rằng $M/M_0$ là sinh hữu hạn, dùng e); sau đó áp dụng Bài tập 3 của VII, p. 54.) g) Suy ra từ điều trên rằng một $A$-môđun $M$ có hạng hữu hạn $r$ khi và chỉ khi môđun thương $M/T$ của $M$ theo môđun con xoắn $T$ của nó có hạng hữu hạn $p \leq r$, và mỗi thành phần $\pi$-nguyên sơ của $T$ có hạng $\leq r - p$, với ít nhất một trong chúng có hạng $r - p$. h) Cho $(p_n)$ là dãy các số nguyên tố phân biệt; cho $E$ là tổng trực tiếp của các $\mathbf{Z}$-môđun tuần hoàn $\mathbf{Z}/p_n^2\mathbf{Z}$, và ký hiệu $e_n$ là phần tử mà mọi tọa độ đều bằng không trừ tọa độ thứ n, tọa độ này bằng lớp thặng dư của 3 mod $p_n^2$. Cho $M$ là môđun con của $\mathbf{Z}$-môđun $E \times \mathbf{Q}$ sinh bởi các phần tử $(e_n, 1/p_n)$. Chứng minh rằng $M$ là một $\mathbf{Z}$-môđun có hạng 2, rằng môđun con xoắn $T$ của $M$ được sinh bởi các phần tử $(p_n e_n, 0)$, và rằng $T$ không phải là một nhân tử trực tiếp của $M$. (Nếu $\bar{x}_n$ là lớp của $(e_n, 1/p_n)$ mod $T$, chứng minh rằng với mọi $m \neq n$ tồn tại một lớp $\bar{y}_{nm}$ mod $T$ sao cho $\bar{x}_n = p_m \bar{y}_{nm}$, nhưng không có phần tử $x_n$ nào trong lớp $\bar{x}_n$ sao cho với mọi $m \neq n$ tồn tại $y_n \in M$ với $x_n = p_m y_{nm}$.) i) Nếu $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, chứng minh rằng hạng của $M$ bằng lực lượng nhỏ nhất $\gamma(M)$ của một tập hợp sinh bất kỳ của $M$. j) Cho $M$ là một $A$-môđun xoắn có hạng hữu hạn. Chứng minh rằng nếu $N$ là một môđun con thực sự của $M$ thì $N$ không thể đẳng cấu với $M$ (dùng f)).

† 23) Cho $A$ là một miền iđêan chính và cho $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng nếu $N$ và $P$ là hai $A$-môđun sao cho $M \oplus N$ và $M \oplus P$ đẳng cấu, thì $N$ và $P$ đẳng cấu. (Rút gọn về trường hợp $M$ là xyclic; bằng cách đồng nhất $M \oplus N$ với $M \oplus P$, ta có thể xét một $A$-môđun $E$ được phân tích theo hai cách thành tổng trực tiếp của các môđun con $F \oplus N$ và $G \oplus P$, trong đó $F$ và $G$ là xyclic và đẳng cấu. Trong trường hợp $F$ và $G$ đẳng cấu với $A$, chứng minh rằng nếu $N \neq P$ thì $N$ là tổng trực tiếp của $N \cap P$ và một môđun con đẳng cấu với $A$. Nếu $F$ và $G$ đẳng cấu với $A/\mathbf{A}\pi^n$, trong đó $\pi$ là một phần tử bất khả quy của $A$, xét hai phần tử sinh $a, b$ của $F, G$ tương ứng, và xét các trường hợp $\pi^n a \notin G,\ \pi^n b \notin F$, và cuối cùng trường hợp mà cả $\pi^{n-1}a \in G$ và $\pi^{n-1}b \in F$; trong trường hợp cuối này, xét phần tử $a + b$ của $E$ và môđun con mà nó sinh.)

† 24) Một nhóm Abel $G$ đẳng cấu với một nhóm con của nhóm nhân $K^*$ của các phần tử khác không của một trường giao hoán $K$ nào đó khi và chỉ khi nhóm con xoắn $T$ của $G$ có hạng $\leq 1$ (Bài tập 22). (Về tính cần thiết của điều kiện này, xem V, p. 79, Mệnh đề 2 ; dùng cùng tham chiếu đó để chỉ ra rằng điều kiện là đủ để $T$ đẳng cấu với một nhóm con của $E^*$, với một trường $E$ nào đó. Với mọi $a \in G/T$ hãy cho $g_a$ là một đại diện lớp ghép của $a$ trong $G$, khi đó, đồng nhất $T$ với một nhóm con của $E^*$, ta có thể viết $g_a g_b = e_{\alpha\beta} g_{(\alpha\beta)}$ với mọi $a, \beta \in G/T$, trong đó $e_{\alpha\beta} \in E$. Chứng minh rằng tồn tại một $E$-đại số $B$ có cơ sở $(b_i)_{i \in G/T}$ sao cho $b_a b_b = e_{\alpha\beta} b_{(\alpha\beta)}$ với mọi $a, \beta$, và chứng minh rằng $B$ là một miền nguyên bằng cách sử dụng VI, p. 33, Bài tập 20, c). Khi đó trường phân thức $K$ của $B$ thỏa mãn các điều kiện mong muốn.)

25) Tổng quát hóa Định lý 1 của VII, p. 18 cho các môđun trái trên một vành $A$ không nhất thiết giao hoán, trong đó mọi iđêan trái và mọi iđêan phải đều là chính (một ví dụ về một vành như vậy là tích tenxơ $K[X] \otimes_K D$, trong đó $K$ là một trường giao hoán và $D$ là một $K$-đại số là một trường nhưng không nhất thiết giao hoán).