Exercice 9, § 4

Soient A un anneau principal, K le corps des fractions de A, E un espace vectoriel sur K, M un A-module de type fini et de rang n contenu dans E, N un A-module de type fini et de rang p contenu dans KM, P un A-module de type fini et de rang q contenu dans KN. a) Soient $A\alpha_i$ (1 \leq i \leq p) les facteurs invariants de N par rapport à M, rangés par ordre décroissant (exerc. 3). Montrer que, pour $1 \leq k \leq p$, $\alpha_k$ est un pgcd des éléments $\lambda \in K$ tels que le rang du module quotient $(N + \lambda(KN \cap M))/N$ soit $\leq p - k$ (cf. exerc. 8, d)). b) Soient $A\beta_j$ (1 \leq j \leq q) les facteurs invariants de P par rapport à M, $A\gamma_j$ (1 \leq j \leq q) les facteurs invariants de P par rapport à N, rangés par ordre décroissant. Montrer que $\alpha_1 \gamma_j$ divise $\beta_j$ pour $1 \leq j \leq q$ (cf. exerc. 8). c) Montrer que $\gamma_1 \alpha_j$ divise $\beta_j$ pour $1 \leq j \leq q$. (Considérer d’abord le cas où $n = p = q$, et appliquer l’exerc. 8. En général, montrer qu’on peut toujours supposer $p = n$, et considérer un sous-module Q de M tel que $P + \rho Q$ soit de rang $p$ pour tout $\rho \in A$; prendre ensuite l’idéal $A\rho$ assez petit et utiliser la prop. 4 de VII, p. 20.) d) Pour tout sous-module H de N, de rang $k \leq p$, soit $(\mu_H)$ l’idéal fractionnaire des $\mu \in K$ tels que $\mu(M \cap KH) \subset H$. Déduire de c) que, pour $1 \leq k \leq p$, $\alpha_k$ est un pgcd des $\mu_H$ lorsque H parcourt l’ensemble des sous-modules de N de rang $k$.