Bài tập 12, § 5

(a) Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n trên một trường giao hoán K, và cho $f_i$ và $g_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các bất biến tương đồng tương ứng của chúng. Chứng minh rằng không gian vectơ (trên K) của các ma trận vuông $U$, cấp n, sao cho $UA = BU$, là đẳng cấu với không gian $\overline{M} = M/N$ được xác định như sau : M là không gian các ma trận vuông $(u_{ij}(X))$ cấp n trên $K[X]$ sao cho $u_{ij}(X) f_j(X)$ là một bội của $g_i(X)$ với mỗi cặp $i, j$ các chỉ số ; và N là không gian con của M gồm các ma trận mà $u_{ij}(X)$ là một bội của $g_j(X)$ với mỗi cặp $i, j$ các chỉ số. (Xét $U, A$ và B lần lượt như là các ma trận của các tự đồng cấu $u, v$ và $w$ tương ứng của $E = K^n$, và chú ý rằng u là một ánh xạ $K[X]$-tuyến tính từ $E_v$ vào $E_w$; bây giờ biểu diễn $E_v$ và $E_w$ dưới dạng các môđun thương.) (b) Khi $B = A$, các ma trận $U$ sao cho $UA = AU$ tạo thành một vành P ; khi đó M là một vành các ma trận vuông, và N là một iđêan hai phía của M, sao cho P đẳng cấu với vành thương $M/N$. Chứng minh rằng P trùng với vành $K[A]$ sinh bởi I và A khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của A bằng đa thức đặc trưng của nó. (c) Với A và B tùy ý, chứng minh rằng chiều của $M_0$ bằng $\sum_{i,j} m_{ij}$, trong đó $m_{ij}$ là bậc của ước chung lớn nhất của $f_i$ và $g_j$ (cùng phương pháp như a)). (d) Chứng minh rằng hạng lớn nhất của các ma trận $U \in M_0$ bằng $\sum_k d_k$, trong đó $d_k$ là bậc của ước chung lớn nhất của $f_k$ và $g_k$ (dùng Bài tập 8). (e) Tổng quát hóa các kết quả của a), c) và d) cho trường hợp A là một ma trận vuông cấp $n$, B là một ma trận vuông cấp $m$, và $U$ là một ma trận có m hàng và n cột.