Exercice 12, § 5

a)** Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n$ sur un corps commutatif $K$, $f_i$ et $g_i$ ($1 \leq i \leq n$) leurs invariants de similitude respectifs. Montrer que l’espace vectoriel (sur $K$) des matrices carrées $U$ d’ordre $n$ telles que $UA = BU$ est isomorphe à l’espace $M_0 = M/N$ défini de la façon suivante : $M$ est l’espace des matrices carrées $(u_{ij}(X))$ d’ordre $n$ sur $K[X]$ telles que $u_{ij}(X) f_j(X)$ soit multiple de $g_i(X)$ pour tout couple d’indices $i, j$; $N$ est le sous-espace de $M$ formé des matrices telles que $u_{ij}(X)$ soit multiple de $g_i(X)$ pour tout couple d’indices $i, j$. (Considérer $U, A$ et $B$ comme matrices d’endomorphismes $u, v$ et $w$ de $E = K^n$ et remarquer que $u$ est une application $K[X]$-linéaire de $E_v$ dans $E_w$; exprimer alors $E_v$ et $E_w$ comme des modules quotients.) b) Lorsque $B = A$, les matrices $U$ telles que $UA = AU$ forment un anneau $P$; $M$ est alors un anneau de matrices carrées, $N$ un idéal bilatère dans $M$, et $P$ est isomorphe à l’anneau quotient $M/N$. Montrer que, pour que $P$ soit identique à l’anneau $K[A]$ engendré par $I_n$ et $A$, il faut et il suffit que le polynôme minimal de $A$ soit égal à son polynôme caractéristique. c) Lorsque $A$ et $B$ sont quelconques, montrer que la dimension de $M_0$ est égale à $\sum_{i,j} m_{ij}$, où $m_{ij}$ est le degré du pgcd de $f_i$ et de $g_j$ (méthode de $a$). d) Montrer que le plus grand des rangs des matrices $U \in M_0$ est égal à $\sum_k d_k$, où $d_k$ est le degré du pgcd de $f_k$ et de $g_k$ (utiliser l’exerc. 8). e) Généraliser les résultats de $a), c)$ et d) au cas où $A$ est une matrice carrée d’ordre $n$, $B$ une matrice carrée d’ordre $m$ et $U$ une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes.